洛谷 [P2148] E&G

SG函数的应用

首先每一组都是独立的，所以我们可以求出每一组的SG值异或出来。

那么怎么求每一组的SG值呢，网上的题解都是打表找规律，但其实这个规律是可以证明的

先看规律：

x为奇数，y为奇数：SG=0

x为偶数，y为偶数：SG=SG(x/2 , y/2)+1

x为奇数，y为偶数：SG=SG((x+1)/2 , y/2)+1

x为偶数，y为奇数：SG=SG(x/2 , (y+1)/2)+1

即寻找如下最小的k使得 $ i - 1 < 2 ^ k (mod 2 ^ (k + 1))$

证明如下：

引理一：

当去掉一堆后，剩下的一堆为奇数时，这些后继的的 mex 值为 0，

用数学归纳法证明：

1. 1不合法，最小合法的奇数为 3，当该数为 3 时，显然成立。
2. 假设小于奇数n的奇数均满足此性质，因为一个奇数 n 一定能切仅能分解成一个奇数和一个偶数的后继，这个后继因为其中有一个奇数，所以该后继的后继一定有 0，所以这个后继的 SG 值一定大于 0，所以n的 SG 值一定为 0

由引理一可以得出当剩下的一堆为偶数时，该状态的 SG 值一定不为 0

当两个数均为奇数时，SG 为 0，规律一得证

当两个数一奇一偶时， SG 一定不为 0 ，且只有剩下偶数堆时对 SG 值才有贡献。

引理二：

当去掉一堆后，剩下的一堆为偶数 n 时，这些后继的 mex 值为 SG(n/2) + 1 ， 2 的后继的 mex 为 1

数学归纳法证明：

一个偶数 n 一定能分解成两个奇数，所以后继中一定有 0 （引理一）

一个大于 2 的偶数 n 一定能分解成两个偶数，且分解出的偶数的集合为{2， 4， ……， n - 2}

。。。翻车了

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    int SG(int n,int m)
    {
        if(n&1&&m&1)return 0;
        if(!(n&1)&&!(m&1))return SG(n>>1,m>>1)+1;
        if(!(n&1)&&m&1)return SG(n>>1,(m+1)>>1)+1;
        if(n&1&&!(m&1))return SG((n+1)>>1,m>>1)+1;
    }
    int main()
    {
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            int n,ans=0;
            scanf("%d",&n);
            for(int i=1;i<=(n>>1);i++)
            {
                int x,y;
                scanf("%d%d",&x,&y);
                ans^=SG(x,y);
            }
            if(ans)puts("YES");
            else puts("NO");
        }
    }