【洛谷2617_BZOJ1901】Dynamic Rankings（树套树）

题目：

洛谷 2617

BZOJ 1901 是权限题，\(n=10^4\) ，内存 128 MB ；洛谷 2617 \(n=10^5\) ，内存 1024 MB ，数据比较坑。

分析：

蒟蒻初学树套树……

先谈谈个人对树套树的理解。树形数据结构每个结点上维护的信息可以分为两种：一种是根据题目需要维护的数据（我喜欢称之为 “数据字段”——这个名字可能是我自己起的），另一种是为了形成数据 “结构” 而维护的数据（我称为 “结构字段” ——也是我自己起的名字）。比如一棵维护区间和的平衡树，它的结点的 “数据字段” 就是该结点对应区间的区间和，而 “结构字段” 就是指向左、右儿子和父亲的指针。对于同一种数据结构中的结点，“结构字段” 通常是固定的，比如 Splay 一定是两个儿子和父亲的指针，动态开点线段树一定是两个儿子；而 “数据字段” 则根据题目需要决定，如维护最值、区间和等。通常 “在结点上维护 XX ” 指的是 “结点的数据字段是（或 ‘表示’） XX ” 。

树套树并不是一种独立的数据结构。以往见到的数据结构（比如线段树、平衡树）的 “数据字段” 通常是整数，而在树套树中，“数据字段” 是另一个数据结构。以 STL 中的 set 为例，下面这条语句定义了一个 “数据字段” 是整数的 set ：

set<int> s;

而下面这句定义一个 “数据字段” 是一个维护整数的 set 的 set ，可以称为 “红黑树套红黑树” ：

set< set<int> > s;

口胡结束，开始看这道题。如果询问的不是第 \(k\) 大而是最大，那么开一棵维护区间最大值线段树，把询问拆成 \(\log n\) 个线段树上的结点，把这些结点上维护的最大值（数据字段）取最大值就是答案；如果询问的不是区间而是全局，那么开一棵权值线段树维护所有数的权值，在上面二分找第 \(k\) 大即可。把以上两种思想结合起来，可以考虑建立一棵区间线段树，每个结点维护一棵权值线段树，在上面维护这个区间中数的权值。

询问的时候，先找出对应的 \(\log n\) 个区间，然后记录这 \(\log n\) 棵内层权值线段树的根。开始在内层线段树上走，每次判断 \(\log n\) 个左儿子的和是否不小于 \(k\) ，如果是则把这 \(\log n\) 个根都移动到各自的左儿子，否则移动到右儿子。

修改的时候把外层树从根到叶子一条链上所有内层树都改一遍即可。

上述两种操作的时间复杂度都是 \(O(\log n\log M)\) ，其 中\(M\) 是最大权值（离散化后就是 \(n\) ）。

内层线段树必须动态开点，这样外层树每个结点对应的内层树的总结点树是 \(a\log M\)，其中 \(a\) 是这个外层结点对应的区间长度。因为所有外层树所有结点的长度之和是 \(n\log n\) ，所以总空间复杂度是 \(n\log^2 n\) 。如果不动态开点每个外层结点都对应 \(O(M)\) 结点的内层树，空间瞬间爆炸。

代码：

这个方法比较菜，不离散化洛谷会 T 一半，离散化 + O2 在洛谷上才能过。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
using namespace std;

namespace zyt
{
	template<typename T>
	inline bool read(T &x)
	{
		char c;
		bool f = false;
		x = 0;
		do
			c = getchar();
		while (c != EOF && c != '-' && !isdigit(c));
		if (c == EOF)
			return false;
		if (c == '-')
			f = true, c = getchar();
		do
			x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		while (isdigit(c));
		if (f)
			x = -x;
		return true;
	}
	inline bool read(char &c)
	{
		do
			c = getchar();
		while (c != EOF && !isgraph(c));
		return c != EOF;
	}
	template<typename T>
	inline void write(T x)
	{
		static char buf[20];
		char *pos = buf;
		if (x < 0)
			putchar('-'), x = -x;
		do
			*pos++ = x % 10 + '0';
		while (x /= 10);
		while (pos > buf)
			putchar(*--pos);
	}
	const int N = 1e4 + 10, B = 16;
	int n, m, maxx, arr[N];
	namespace Inner_Segment_Tree
	{
		struct node
		{
			int num, lt, rt;
		}tree[N * B * B];
		int cnt;
		int add(int rot, const int lt, const int rt, const int pos, const int x)
		{
			if (!rot)
				rot = ++cnt;
			tree[rot].num += x;
			if (lt != rt)
			{
				int mid = (lt + rt) >> 1;
				if (pos <= mid)
					tree[rot].lt = add(tree[rot].lt, lt, mid, pos, x);
				else
					tree[rot].rt = add(tree[rot].rt, mid + 1, rt, pos, x);
			}
			return rot;
		}
		int query(int *rot, const int num, const int lt, const int rt, const int k)
		{
			if (lt == rt)
				return lt;
			int tmp = 0;
			for (int i = 0; i < num; i++)
				tmp += tree[tree[rot[i]].lt].num;
			int mid = (lt + rt) >> 1;
			if (tmp >= k)
			{
				for (int i = 0; i < num; i++)
					rot[i] = tree[rot[i]].lt;
				return query(rot, num, lt, mid, k);
			}
			else
			{
				for (int i = 0; i < num; i++)
					rot[i] = tree[rot[i]].rt;
				return query(rot, num, mid + 1, rt, k - tmp);
			}
		}
	}
	namespace Segment_Tree
	{
		struct node
		{
			int rot;
		}tree[N << 2];
		int cnt, tmp[N];
		void get_rot(const int rot, const int lt, const int rt, const int ls, const int rs)
		{
			if (!tree[rot].rot || (ls <= lt && rt <= rs))
			{
				if (tree[rot].rot)
					tmp[cnt++] = tree[rot].rot;
				return;
			}
			int mid = (lt + rt) >> 1;
			if (ls <= mid)
				get_rot(rot << 1, lt, mid, ls, rs);
			if (rs > mid)
				get_rot(rot << 1 | 1, mid + 1, rt, ls, rs);
		}
		void change(const int rot, const int lt, const int rt, const int pos, const int from, const int to)
		{
			using Inner_Segment_Tree::add;
			if (from >= 0)
				add(tree[rot].rot, 1, maxx, from, -1);
			tree[rot].rot = add(tree[rot].rot, 1, maxx, to, 1);
			if (lt == rt)
				return;
			int mid = (lt + rt) >> 1;
			if (pos <= mid)
				change(rot << 1, lt, mid, pos, from, to);
			else
				change(rot << 1 | 1, mid + 1, rt, pos, from, to);
		}
		int query(const int ls, const int rs, const int k)
		{
			cnt = 0;
			get_rot(1, 1, n, ls, rs);
			return Inner_Segment_Tree::query(tmp, cnt, 1, maxx, k);
		}
	}
	int tmp[N << 1], cnt;
	struct _opt
	{
		char opt;
		int a, b, c;
	}opt[N];
	int work()
	{
		using Segment_Tree::query;
		using Segment_Tree::change;
		read(n), read(m);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			read(arr[i]), tmp[cnt++] = arr[i];
		for (int i = 1; i <= m; i++)
		{
			read(opt[i].opt), read(opt[i].a), read(opt[i].b);
			if (opt[i].opt == 'Q')
				read(opt[i].c);
			else
				tmp[cnt++] = opt[i].b;
		}
		sort(tmp, tmp + cnt);
		maxx = unique(tmp, tmp + cnt) - tmp;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
		{
			arr[i] = upper_bound(tmp, tmp + maxx, arr[i]) - tmp;
			change(1, 1, n, i, -1, arr[i]);
		}
		for (int i = 1; i <= m; i++)
			if (opt[i].opt == 'C')
				opt[i].b = upper_bound(tmp, tmp + maxx, opt[i].b) - tmp;
		for (int i = 1; i <= m; i++)
		{
			if (opt[i].opt == 'Q')
				write(tmp[query(opt[i].a, opt[i].b, opt[i].c) - 1]), putchar('\n');
			else
			{
				change(1, 1, n, opt[i].a, arr[opt[i].a], opt[i].b);
				arr[opt[i].a] = opt[i].b;
			}
		}
		return 0;
	}
}
int main()
{
	freopen("2617.in", "r", stdin);
	return zyt::work();
}