timus1745题解

一、题目链接

http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1745

二、题意

给定$n$个由'('和')'组成的字符串，每个串最多只能使用$1$次，可以任意改变字符串之间的顺序，要求输出由这些字符串拼接起来可以得到的最大“正规括号序列”的长度，并输出选择方案。

三、思路

首先，这很显然需要$dp$。所以对字符串按照某种规则排序。容易想到的是，把左括号多的放前面，右括号多的放后面，然而，这只是理想的状态，稍微复杂的样例如下：

))()()((
)))((((
()))(((()

对于这些复杂的样例，我们没法想清楚所以情况并逐一对其考虑排序，所以，这个地方留下一个坑，先参考这个博客里的神排序规则。

http://www.cnblogs.com/liulangye/archive/2013/10/02/3349523.html

然后，由于$\sum\limits_{i=1}^{n}|s_i| \le 10000$，$n \le 1000$，所以可以做01背包。

在每一个字符串中，记录它的左括号的个数$lb$和右括号的个数$lb$，同时再记录每个串里面已经匹配的最大长度$num$，并把$lb$和$rb$减去$num$。

$dp[i][j]$表示在前$i$个字符串里面选择若干个字符串且左括号个数比右括号个数exactly多$j$个所能获得的最大正规括号序列长度，那么，最终答案就是$dp[n][0]$。

如果采用“多推一”的$dp$方式，那么有：

　　如果$dp[i-1][j] \ne -1$，$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j])$，

　　如果$dp[i-1][j+ns[i].rb-ns[i].lb] \ne -1$，$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j+ns[i].rb-ns[i].lb]+ns[i].num+2*ns[i].rb)$

　　其中：$1 \le i \le n,0 \le j \le m$。

如果采用“一推多”的$dp$方式，那么有：

　　如果$dp[i][j] \ne -1$，$dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j])$，

　　$dp[i+1][j-ns[i].rb+ns[i].lb]=max(dp[i+1][j-ns[i].rb+ns[i].lb],dp[i][j]+ns[i].num+2*ns[i].rb)$，

　　其中：$0 \le i < n,0 \le j \le m$。

上式中的$m=\sum\limits_{i=1}^{n}|s_i|$。

要注意的是：

1、在一开始输入的时候，要根据所采用的$dp$姿势来确定下标的起点。

2、从个人感觉来看，第一种"多推一"的$dp$姿势状态转移没那么直观，但是找路径更加直观；第二种"一推多"的$dp$姿势状态转移更加直观，但是找路径没那么直观。

2、无论那种$dp$姿势，无论当前括号序列有没有取，都需要记录父节点。

3、要记录路径，所以在状态转移的时候，无论当前“背包”是选还是不选，都应该设置父节点，否则，肯定会错。

4、由于$dp[i][j]$表示在前$i$个字符串里面选择若干个字符串且左括号个数比右括号个数exactly多$j$个所能获得的最大正规括号序列长度，所以一开始要把$dp$数组初始化为$-1$。在初始状态中，只有$dp[0][0]$是合法的，即$dp[0][0]=0$。

5、在"一推多"的$dp$状态转移代码中，有这么一个判断条件$j-ns[i].rb>=0$，这个条件一定不能写成$j-ns[i].rb+ns[i].lb>=0$，因为题目中说明了，在“正规括号序列”的任意前缀中，左括号的数量都不小于右括号的数量。如果写成了第二种条件，那么“))()((”这种样例也会满足条件。

四、代码

1、“一推多”的$dp$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
    string s;
    int id,lb,rb,num;
}ns[];

int func(const node& a){
    int t=a.lb-a.rb;
    ?:t/abs(t);
}

bool cmp(const node& a,const node& b){
    int lf=func(a),rf=func(b);
    &&rf==)return a.rb<b.rb;
    &&rf==-)return a.lb>b.lb;
    else return lf>rf;
}

][],ans[],acnt;
][];
int main(){
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio();
    cin.tie();
    ;
    cin>>n;
    ;i<n;++i){
        cin>>ns[i].s;
        m+=ns[i].s.size();
        ns[i].id=i+;
        ns[i].lb=ns[i].rb=ns[i].num=;
        stack<char> st;
        ;j<ns[i].s.size();++j){
            if(ns[i].s[j]=='(')ns[i].lb++;
            else ns[i].rb++;
            if(ns[i].s[j]=='(')st.push('(');
            ;
        }
        ns[i].lb-=ns[i].num/;
        ns[i].rb-=ns[i].num/;
    }
    sort(ns,ns+n,cmp);
    memset(dp,-,sizeof(dp));
    memset(path,-,sizeof(path));
    dp[][]=;
    ;i<n;++i){
        ;j<=m;++j){
            )continue;
            ][j]<dp[i][j]){
                dp[i+][j]=dp[i][j];
                path[i+][j]=-;
            }
            &&j-ns[i].rb+ns[i].lb<=m
               &&dp[i+][j-ns[i].rb+ns[i].lb]<dp[i][j]+ns[i].num+*ns[i].rb){
                dp[i+][j-ns[i].rb+ns[i].lb]=dp[i][j]+ns[i].num+*ns[i].rb;
                path[i+][j-ns[i].rb+ns[i].lb]=j;
            }
        }
    }
    acnt=;
    ;i>;--i){
        ){
            ans[acnt++]=ns[i-].id;
            j=path[i][j];
        }
    }
    cout<<(dp[n][]==-?:dp[n][])<<" "<<acnt<<endl;
    ;i>=;--i)cout<<ans[i]<<];
    ;
}

2、"多推一"的$dp$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{
    string s;
    int id,lb,rb,num;
}ns[];

int func(const node& a){
    int t=a.lb-a.rb;
    ?:t/abs(t);
}

bool cmp(const node& a,const node& b){
    int lf=func(a),rf=func(b);
    &&rf==)return a.rb<b.rb;
    &&rf==-)return a.lb>b.lb;
    else return lf>rf;
}

][],ans[],acnt;
][];
int main(){
//    freopen("input.txt","r",stdin);
    ios::sync_with_stdio();
    cin.tie();
    ;
    cin>>n;
    ;i<=n;++i){
        cin>>ns[i].s;
        m+=ns[i].s.size();
        ns[i].id=i;
        ns[i].lb=ns[i].rb=ns[i].num=;
        stack<char> st;
        ;j<ns[i].s.size();++j){
            if(ns[i].s[j]=='(')ns[i].lb++;
            else ns[i].rb++;
            if(ns[i].s[j]=='(')st.push('(');
            ;
        }
        ns[i].lb-=ns[i].num/;
        ns[i].rb-=ns[i].num/;
    }
    sort(ns+,ns+n+,cmp);
    memset(dp,-,sizeof(dp));
    memset(path,-,sizeof(path));
    dp[][]=;
    ;i<=n;++i){
        ;j<=m;++j){
            ][j]!=-&&dp[i][j]<dp[i-][j]){
                dp[i][j]=dp[i-][j];
                path[i][j]=-;
            }
            &&j+ns[i].rb-ns[i].lb<=m
               &&dp[i-][j+ns[i].rb-ns[i].lb]!=-
               &&dp[i][j]<dp[i-][j+ns[i].rb-ns[i].lb]+ns[i].num+*ns[i].rb){
                dp[i][j]=dp[i-][j+ns[i].rb-ns[i].lb]+ns[i].num+*ns[i].rb;
                path[i][j]=j+ns[i].rb-ns[i].lb;
            }
        }
    }
    acnt=;
    ;i>;--i){
        ){
            ans[acnt++]=ns[i].id;
            j=path[i][j];
        }
    }
    cout<<(dp[n][]==-?:dp[n][])<<" "<<acnt<<endl;
    ;i>=;--i)cout<<ans[i]<<];
    ;
}