timus1745题解
一、题目链接
http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1745
二、题意
给定$n$个由'('和')'组成的字符串,每个串最多只能使用$1$次,可以任意改变字符串之间的顺序,要求输出由这些字符串拼接起来可以得到的最大“正规括号序列”的长度,并输出选择方案。
三、思路
首先,这很显然需要$dp$。所以对字符串按照某种规则排序。容易想到的是,把左括号多的放前面,右括号多的放后面,然而,这只是理想的状态,稍微复杂的样例如下:
))()()(( )))(((( ()))(((()
对于这些复杂的样例,我们没法想清楚所以情况并逐一对其考虑排序,所以,这个地方留下一个坑,先参考这个博客里的神排序规则。
http://www.cnblogs.com/liulangye/archive/2013/10/02/3349523.html
然后,由于$\sum\limits_{i=1}^{n}|s_i| \le 10000$,$n \le 1000$,所以可以做01背包。
在每一个字符串中,记录它的左括号的个数$lb$和右括号的个数$lb$,同时再记录每个串里面已经匹配的最大长度$num$,并把$lb$和$rb$减去$num$。
$dp[i][j]$表示在前$i$个字符串里面选择若干个字符串且左括号个数比右括号个数exactly多$j$个所能获得的最大正规括号序列长度,那么,最终答案就是$dp[n][0]$。
如果采用“多推一”的$dp$方式,那么有:
如果$dp[i-1][j] \ne -1$,$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j])$,
如果$dp[i-1][j+ns[i].rb-ns[i].lb] \ne -1$,$dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j+ns[i].rb-ns[i].lb]+ns[i].num+2*ns[i].rb)$
其中:$1 \le i \le n,0 \le j \le m$。
如果采用“一推多”的$dp$方式,那么有:
如果$dp[i][j] \ne -1$,$dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j])$,
$dp[i+1][j-ns[i].rb+ns[i].lb]=max(dp[i+1][j-ns[i].rb+ns[i].lb],dp[i][j]+ns[i].num+2*ns[i].rb)$,
其中:$0 \le i < n,0 \le j \le m$。
上式中的$m=\sum\limits_{i=1}^{n}|s_i|$。
要注意的是:
1、在一开始输入的时候,要根据所采用的$dp$姿势来确定下标的起点。
2、从个人感觉来看,第一种"多推一"的$dp$姿势状态转移没那么直观,但是找路径更加直观;第二种"一推多"的$dp$姿势状态转移更加直观,但是找路径没那么直观。
2、无论那种$dp$姿势,无论当前括号序列有没有取,都需要记录父节点。
3、要记录路径,所以在状态转移的时候,无论当前“背包”是选还是不选,都应该设置父节点,否则,肯定会错。
4、由于$dp[i][j]$表示在前$i$个字符串里面选择若干个字符串且左括号个数比右括号个数exactly多$j$个所能获得的最大正规括号序列长度,所以一开始要把$dp$数组初始化为$-1$。在初始状态中,只有$dp[0][0]$是合法的,即$dp[0][0]=0$。
5、在"一推多"的$dp$状态转移代码中,有这么一个判断条件$j-ns[i].rb>=0$,这个条件一定不能写成$j-ns[i].rb+ns[i].lb>=0$,因为题目中说明了,在“正规括号序列”的任意前缀中,左括号的数量都不小于右括号的数量。如果写成了第二种条件,那么“))()((”这种样例也会满足条件。
四、代码
1、“一推多”的$dp$
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct node{ string s; int id,lb,rb,num; }ns[]; int func(const node& a){ int t=a.lb-a.rb; ?:t/abs(t); } bool cmp(const node& a,const node& b){ int lf=func(a),rf=func(b); &&rf==)return a.rb<b.rb; &&rf==-)return a.lb>b.lb; else return lf>rf; } ][],ans[],acnt; ][]; int main(){ // freopen("input.txt","r",stdin); ios::sync_with_stdio(); cin.tie(); ; cin>>n; ;i<n;++i){ cin>>ns[i].s; m+=ns[i].s.size(); ns[i].id=i+; ns[i].lb=ns[i].rb=ns[i].num=; stack<char> st; ;j<ns[i].s.size();++j){ if(ns[i].s[j]=='(')ns[i].lb++; else ns[i].rb++; if(ns[i].s[j]=='(')st.push('('); ; } ns[i].lb-=ns[i].num/; ns[i].rb-=ns[i].num/; } sort(ns,ns+n,cmp); memset(dp,-,sizeof(dp)); memset(path,-,sizeof(path)); dp[][]=; ;i<n;++i){ ;j<=m;++j){ )continue; ][j]<dp[i][j]){ dp[i+][j]=dp[i][j]; path[i+][j]=-; } &&j-ns[i].rb+ns[i].lb<=m &&dp[i+][j-ns[i].rb+ns[i].lb]<dp[i][j]+ns[i].num+*ns[i].rb){ dp[i+][j-ns[i].rb+ns[i].lb]=dp[i][j]+ns[i].num+*ns[i].rb; path[i+][j-ns[i].rb+ns[i].lb]=j; } } } acnt=; ;i>;--i){ ){ ans[acnt++]=ns[i-].id; j=path[i][j]; } } cout<<(dp[n][]==-?:dp[n][])<<" "<<acnt<<endl; ;i>=;--i)cout<<ans[i]<<]; ; }
2、"多推一"的$dp$
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; struct node{ string s; int id,lb,rb,num; }ns[]; int func(const node& a){ int t=a.lb-a.rb; ?:t/abs(t); } bool cmp(const node& a,const node& b){ int lf=func(a),rf=func(b); &&rf==)return a.rb<b.rb; &&rf==-)return a.lb>b.lb; else return lf>rf; } ][],ans[],acnt; ][]; int main(){ // freopen("input.txt","r",stdin); ios::sync_with_stdio(); cin.tie(); ; cin>>n; ;i<=n;++i){ cin>>ns[i].s; m+=ns[i].s.size(); ns[i].id=i; ns[i].lb=ns[i].rb=ns[i].num=; stack<char> st; ;j<ns[i].s.size();++j){ if(ns[i].s[j]=='(')ns[i].lb++; else ns[i].rb++; if(ns[i].s[j]=='(')st.push('('); ; } ns[i].lb-=ns[i].num/; ns[i].rb-=ns[i].num/; } sort(ns+,ns+n+,cmp); memset(dp,-,sizeof(dp)); memset(path,-,sizeof(path)); dp[][]=; ;i<=n;++i){ ;j<=m;++j){ ][j]!=-&&dp[i][j]<dp[i-][j]){ dp[i][j]=dp[i-][j]; path[i][j]=-; } &&j+ns[i].rb-ns[i].lb<=m &&dp[i-][j+ns[i].rb-ns[i].lb]!=- &&dp[i][j]<dp[i-][j+ns[i].rb-ns[i].lb]+ns[i].num+*ns[i].rb){ dp[i][j]=dp[i-][j+ns[i].rb-ns[i].lb]+ns[i].num+*ns[i].rb; path[i][j]=j+ns[i].rb-ns[i].lb; } } } acnt=; ;i>;--i){ ){ ans[acnt++]=ns[i].id; j=path[i][j]; } } cout<<(dp[n][]==-?:dp[n][])<<" "<<acnt<<endl; ;i>=;--i)cout<<ans[i]<<]; ; }
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