【剑指offer】约瑟夫环问题

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题目描写叙述：

每年六一儿童节,JOBDU都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。

HF作为JOBDU的资深元老,自然也准备了一些小游戏。当中,有个游戏是这种:首先,让小朋友们围成一个大圈。

然后,他随机指定一个数m,让编号为1的小朋友開始报数。每次喊到m的那个小朋友要出列唱首歌,然后能够在礼品箱中随意的挑选礼物,而且不再回到圈中,从他的下一个小朋友開始,继续1...m报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,能够不用表演,而且拿到JOBDU名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。

请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？

输入：

输入有多组数据。

每组数据一行,包括2个整数n(0<=n<=1,000,000),m(1<=m<=1,000,000),n,m分别表示小朋友的人数(编号1....n-1,n)和HF指定的那个数m(如上文所述)。

假设n=0,则结束输入。

输出：

相应每组数据,输出最后拿到大奖的小朋友编号。

例子输入：

1 10
8 5
6 6
0

例子输出：

1
3
4

约瑟夫环问题。最简单直观的方法就是用数组或者链表模拟整个游戏的过程，我先是用数组模拟实现了下。

数组模拟实现的代码例如以下：

#include<stdio.h>

typedef struct Node
{
	int next;	//下一个元素的编号
	int num;	//编号，从1開始
}Node;

Node arr[1000000];

int FindLastRemaining(int n,int m)
{
	if(n<1 || m<1)
		return 0;

	int start = 1;
	int current = start;
	int pre = current;
	while(start != arr[start].next)
	{
		//找到待删元素和它的前一个元素
		int i;
		for(i=0;i<m-1;i++)
		{
			pre = current;
			current = arr[current].next;
		}

		//删除元素，又一次建立连接
		arr[pre].next = arr[current].next;
		start = arr[pre].next;
		current = start;
	}
	return arr[start].num;
}

int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n) != EOF && n != 0)
	{
		int m;
		scanf("%d",&m);

		//将数据连成环
		int i;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			arr[i].num = i;
			if(i == n)
				arr[i].next = 1;
			else
				arr[i].next = i+1;
		}

		printf("%d\n",FindLastRemaining(n,m));
	}
	return 0;
}

自己測试了几组数据，都对了，可是在九度OJ上測试，五个測试用例，仅仅通过两个，第二个測试用例WA。后面两个超时了。

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超时就不说了，模拟实现的方法，时间复杂度为O(m*n)。数据非常大时时间消耗就上来了。可是第二个測试用例报了WA，左看右看还是不知道哪里出了问题，不想继续纠结下去了！看到这篇博文的有心者。有发现问题所在的话，提示下。

无奈这个思路的代码木有AC，即使结果正确，也会超时。仅仅能硬着头皮去研究下书上O(n)的做法，顺着书上面的思路。推了半个多小时。总算勉强搞定了，这种思路假设事先没个结论在胸中的话，面试现场基本是不可能推导出来的，除非曾经就知道并推导过这个数学公式。

关于思路。不说太多了。能够看剑指offer，上面写的还是蛮具体的，最好自己动手推推。这里重点说几点我的理解

1、个人感觉对推到时，最好不要用%来合并两个分段函数，最好p(x)依照x的范围分段，这样比較easy理解。这样p(x)有两段函数。求得的逆函数相同是分段函数。

2、k=(m-1)%n永远指的从0開始删除的第m个元素，也就是编号为m-1的元素。由于每次都会对元素的编号做映射，使每次从新開始报数的元素的编号都映射为从0開始。

3、书中通过找规律得到p(x)=(x-k-1)%n，这个感觉不严谨，由于x-k-有可能出现负的情况，应该写为p(x)=(n+x-k-1)%n。但终于求的的递推公式是一样的。由于这里不会出现超过2倍的情况。

另外，九度上的题目要求的编号是从1開始的，这简单。直接将结果的编号加1就可以。

AC代码：

#include<stdio.h>

int LastRemaining(int n,int m)
{
	if(n<1 || m<1)
		return 0;

	int last = 0;
	int i;
	for(i=2;i<=n;i++)
		last = (last + m)%i;
	return last;
}

int main()
{
	int n;
	while(scanf("%d",&n) != EOF && n != 0)
	{
		int m;
		scanf("%d",&m);
		printf("%d\n",LastRemaining(n,m)+1);
	}
	return 0;
}

/**************************************************************

    Problem: 1356

    User: mmc_maodun

    Language: C

    Result: Accepted

    Time:290 ms

    Memory:912 kb

****************************************************************/