生日蛋糕(DFS)

题意：

Description

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。  

设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。  

由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。  

令Q = Sπ  

请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。  （除Q外，以上所有数据皆为正整数）  

Input 

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。 

Output 

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。 

Sample Input 

100 

2 

Sample Output

68

思路：

由于深度一定(m),所以使用深度优先搜索,自上而下的设定蛋糕序号,最顶层的为第1层,……,最底层的蛋糕为第m层,很明显满足题目条件的前i层的(从顶层(也就是编号为1的层)开始计数)最小面积mins[i]和体积minv[i]是在该层的半径以及高度都为i时取得,如果采用一般的神搜肯定会超时,所以这题还需要剪枝,剪枝条件有(从m层向上搜,假设前level层的体积为v,面积为s,当前所得的最小面积为best): 

1> 因为前level层的体积为v,如果剩下的几层的体积都取最小可能值,总体积还是比n大,那么则说明前level层的方案不可行,所以可以剪枝(剪枝条件
为:v+minv[dep-1]>n) 

2> 因为前level层的面积为s,如果剩下的几层的面积都取最小可能值,所得的面积和比已经得到的所求的最小面积best大,也可以进行剪枝(剪枝条件
为:s+mins[dep-1]>best) 

3> 因为前level层的体积为v,那么剩余的m-level层的体积满足:n-v=(h[k](r[k]^2)+……+h[m](r[m]^2))(k=level+1,……,m) 

而剩余部分的表面积满足:lefts=2*(r[k]h[k]+……+r[m]*h[m])>2(n-v)/r[level] (k=level+1,……,m) 

显然有上述不等式lefts=best-s>2*(n-v)/r[level]。所以剪枝条件为:(2*(n-v)/r[level]+s>best)

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#define cmp(a,b) (a<b?a:b)
const int inf=0x7fffffff;
int minv[21],mins[21];
int V,m;
int ans;
void dfs(int v,int s,int level,int r,int h)//level为搜索深度,从底层m层向上搜,r,h分别为该层的半径和高度
{
    if(level==0){//搜索完成,则更新最小面积值
        if(v==V&&s<ans)
            ans=s;
        return;
    }
    if(v+minv[level-1]>V||s+mins[level-1]>ans||2*(V-v)/r+s>=ans)//剪枝1:
        return ;
    int i,j,h_now;
    for(i=r-1;i>=level;i--)//按递减顺序枚举level层蛋糕半径的每一个可能值,这里第level层的半径最小值为level
    {
        if(level==m)//底面积作为外表面积的初始值(总的上表面积,以后只需计算侧面积)
            s=i*i;
        h_now=cmp((V-v-minv[level-1])/(i*i),h-1); //最大高度,即level层蛋糕高度的上限,(n-v-minv[level-1])表示第level层最大的体积
        for(j=h_now;j>=level;j--)//同理,第level层的最小高度值为level
            dfs(v+i*i*j,s+2*i*j,level-1,i,j);//递归搜索子状态
    }
}
int main()
{
    int i;
    minv[0]=0;
    mins[0]=0;
    for(i=1;i<=20;i++)//从顶层向下计算出最小体积和表面积的可能值
    {                                          //从顶层（即第一层）到第i层的最小体积minv[i]成立时第i层的半径和高度都是i
        minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;//不是每层的最最下体积，而是i~1层的最小体积。
        mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;//同上
    }
    while(scanf("%d%d",&V,&m)==2)
    {
        ans=inf;
        int r=sqrt(V/m)+1;//m层的最大半径。
        int h=V/(m*m)+1;//m层的最大的高。
        dfs(0,0,m,r+1,h+1);
        if(ans==0x7fffffff)
            printf("0\n");
        else
            printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}