【题目大意】

给出一个字符串,求第k大的子串。(输入1表示子串可重复,0表示不可重复)

【思路】

显然,k大子串是后缀自动机的经典题型,可以利用后缀自动机的性质来解决。对于字符串

[前铺1]"abcbc",我们可以画出它的后缀自动机,如下图:

Pre树类似于AC自动机中的fail树,即将pre方向形成一棵树。对于上图,它的pre树如下:

[前铺2]考虑字符串s的任意非空子串t。我们称终点集合right(t)为:s中所有是t出现位置终点的集合。例如:对于字符串ATCGTCGT来说,所有的CG的末尾位置的集合是{4,7},也就是说right(“CG”)={4,7}。如果两个子串t_1和t_2终点集合一致,即right(t_1)=right(t_2),那么称它们为“终点等价”。因此,所有s的非空子串可以根据终点等价性分成若干类。

例如:对于字符串abcbc来说,它的所有子串构成的集合可以按照上述等价关系进行如下划分:{{a},{b},{c,bc},{ab},{cb,bcb,abcb},{abc},{cbc,bcbc,abcbc}}。

【知识点】pre树和right集合之间的关系

①除S以外的每个节点代表一个终点等价类。

②每个节点对应的等价类的right集合大小等于以它为根的子树的叶子节点的数量。

right等价类:

right{a}={1}

right{b}={2,4}

right{c,bc}={3,5}

right{ab} ={2}

right{cb,bcb,abcb} ={4}

right{abc} ={3}

right{cbc,bcbc,abcbc}={5}

我们用s[i]表示i所在的等价类的right集合大小,等于在pre树上以它为根的子树的叶子节点的数量。当sign=1时,s[i]=∑s[j](j为i在pre树上的孩子);当sign=0时,s[i]=1。对于sign=1的情况,显然孩子节点的step值大于父亲,所以我们只需要按照step值进行拓扑排序,从后往前进行累加即可得到s[i]的值。

对于叶子节点(叶子节点一定是非后添加的节点,即原字符串中产生的,图中的水平一行),初值在extend中产生:

 s[np]=;

假设q[i]为拓扑排序后的序列,则如下累加即可:

         for(int i=tot;i>=;i--)
{
if(sign==) s[pre[q[i]]]+=s[q[i]];
else s[q[i]]=;
}
s[]=;//不要忘了根节点是虚点

【解题过程】

①根据上述知识点中的性质,如何进行拓扑排序呢?

 for(int i=;i<=tot;i++)
v[step[i]]++;//累加每个step[i]的个数
for(int i=;i<=tot;i++)
v[i]+=v[i-];//v[i]表示按step值从小到大的顺序排序后,step值为i的数在q数组中最右端的下标
for(int i=tot;i>=;i--)
q[v[step[i]]--]=i;//每次将当前的i放入对应step[i]最右端的位置,然后将step[i]的最右端左移

简单地说可以理解为:将当前序列按照step值从小到大排序,对于相同的step值按照原来的出现顺序(下标顺序)从后到前排序。

如以下情况(实际的后缀自动机中是不会出现下面的例子的,这里仅仅方便理解用)

i

1

2

3

4

5

6

7

Step[i]

1

2

3

2

4

2

3

求step[i]的前最后和可得到:

i

1

2

3

4

V[i]

1

4

6

7

所以相当于得到了这样一张表格:

step值

1

2

2

2

3

3

4

i

1

2

3

4

5

6

7

q[i]

★处即对应上面v[i]的值,表示按step值从小到大的顺序排序后,step值为i的数在q数组中最右端的下标。从后往前依次按照step值填入★处,然后对应的v[step[i]]减一,即将★左移一位。最后我们可以得到这样的结果:

step值

1

2

2

2

3

3

4

i

1

2

3

4

5

6

7

q[i]

1

2

4

6

3

7

5

②Sum值代表从当前状态出发不同的路径条数,即将孩子们的路径条数累加起来,再加上本身的s值。即sum[i]=s[i]+∑sum[j](j=next[i][k],k=0..25)

 for(int i=tot;i>=;i--)
{
sum[q[i]]+=s[q[i]];
for(int j=;j<;j++) sum[q[i]]+=sum[next[q[i]][j]];
}

③预处理结束之后,通过dfs找出第k小的路径。这有点类似与二十六分,每次先按字典序往后走,如果当前节点的s值大于当前的k,则说明到当前节点为止,退出dfs;否则k先减去当前s的大小。如果当前节点的sum值大于当前的k值,说明终止点再它的孩子中,输出当前节点对应的字母,k并继续往下深dfs;如果当前结点的sum值小于k,说明k大的子串不在这条路径上,直接将k减去sum并继续搜索下一条路径。(说起来有点绕,直接看代码)

 if (k<=s[d]) return;
k-=s[d];
for (int i=;i<;i++)
{
int tmp=next[d][i];
if (tmp>)
{
if (k<=sum[tmp])
{
printf("%c",i+'a');
dfs(tmp,k);
return;
}
k-=sum[tmp];
}
}

----搞了好久啊这道题,网上的大家都说是水题,可以得:D那我这个蒟蒻就以非常狼狈的姿势“水”过去好啦。以下代(正)码(文):

 #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=+;
char str[MAXN];
int len,sign,k; struct SAM
{
int step[MAXN*],pre[MAXN*],next[MAXN*][],q[MAXN*];
int v[MAXN*],s[MAXN*],sum[MAXN*];
int tot,last;
inline int newNode(int cnt)
{
step[++tot]=cnt;
pre[tot]=;
for (int i=;i<;i++) next[tot][i]=;
return tot;
} inline void extend(int x)
{
int p=last;
int np=newNode(step[last]+);
s[np]=;
while (p && !next[p][x]) next[p][x]=np,p=pre[p];
if (!p) pre[np]=;
else
{
int q=next[p][x];
if (step[q]==step[p]+) pre[np]=q;
else
{
int nq=newNode(step[p]+);
for (int i=;i<;i++) next[nq][i]=next[q][i];
pre[nq]=pre[q];
pre[q]=pre[np]=nq;
while (p && next[p][x]==q) next[p][x]=nq,p=pre[p];
}
}
last=np;
}
inline void clear()
{
tot=;
last=newNode();
} inline void prep()
{
for(int i=;i<=tot;i++)
v[step[i]]++;//累加每个step[i]的个数
for(int i=;i<=tot;i++)
v[i]+=v[i-];//v[i]表示按step值从小到大的顺序排序后,step值为i的数在q数组中最右端的下标
for(int i=tot;i>=;i--)
q[v[step[i]]--]=i;//每次将当前的i放入对应step[i]最右端的位置,然后将step[i]的最右端左移
for(int i=tot;i>=;i--)
{
if(sign==) s[pre[q[i]]]+=s[q[i]];
else s[q[i]]=;
}
s[]=;//不要忘了根节点是虚点
for(int i=tot;i>=;i--)
{
sum[q[i]]+=s[q[i]];
for(int j=;j<;j++) sum[q[i]]+=sum[next[q[i]][j]];
}
} inline void dfs(int d,int k)
{
if (k<=s[d]) return;
k-=s[d];
for (int i=;i<;i++)
{
int tmp=next[d][i];
if (tmp>)
{
if (k<=sum[tmp])
{
printf("%c",i+'a');
dfs(tmp,k);
return;
}
k-=sum[tmp];
}
}
}
}suf; void init()
{
scanf("%s",str);
suf.clear();
len=strlen(str);
for (int i=;i<len;i++) suf.extend(str[i]-'a');
scanf("%d%d",&sign,&k);
} int main()
{
init();
suf.prep();
suf.dfs(,k);
return ;
}

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