BZOJ 4516: [Sdoi2016]生成魔咒——后缀数组、并查集

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题意

一开始串为空，每次往串后面加一个字符，求本质不同的子串的个数，可以离线。即长度为N的字符串，对于每一个前缀，求本质不同的子串的个数。（字符集为int）

做法

首先，我们把所有的数字离散化。然后考虑后缀数组，我们把字符串倒过来，于是很神奇地，往最后加字符变成了添加一个后缀。

我们知道，在求出SA之后，一个字符串的本质不同的子串的个数等于（子串的个数）-（重复计数的个数）等于\(\frac{N*(N+1)}{2}-\sum height[i]\)。

那么，我们可以先把整个（倒过来的）字符串的SA求出来，然后尝试模拟插入后缀这个过程。

每插入一个后缀（插入的位置是这个后缀的rank），在所有已经插入的后缀中，找到它的前驱和后继。又因为两个后缀的LCP，即重复计数的子串个数等于height上的区间最小值，所以我们可以在\(O(1)\)的时间去用height上的最小值更新答案。

实现

这个当然是可以用ST表+线段树/平衡树维护的，但是因为可以离线（求后缀数组本来就要求离线...），我们有更简单的做法。

考虑从后往前做，将所有插入操作变成删除操作。当我们删除一个后缀时，只需要维护它在未删除的后缀中的前驱、后继到它之间的最小值即可（实际上并不需要显式地求出前驱后继）。

可以用双向链表/并查集实现。

我写了并查集的做法：将每个后缀看成一条边，连接的点代表两个后缀之间的LCP（height），删除后缀时连上相应的边，在unite()的时候维护min值。

其他

并查集也是可以离线求前驱后继的，在unite()的时候维护该段最左、最右点即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN=100050, INF=0x3f3f3f3f;
void rd(int &x){
	x=0; int ch=getchar();
	while(ch<'0'||'9'<ch) ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9') x=x*10+ch-'0', ch=getchar();
}
int N, M, up;
int w[MAXN], rk[MAXN], ht[MAXN], sa[MAXN], c[MAXN];
int fa[MAXN], sz[MAXN], mn[MAXN], tmp[MAXN];
ll sum, ans[MAXN];
inline void chkmn(int &x, int y){if(x>y)x=y;}
void init(){
	for(int i=0; i<=N; ++i) fa[i]=i, mn[i]=ht[i];
}
int find(int x){return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
void unite(int x, int y){
	x=find(x); y=find(y);
	if(x==y) return;
	if(sz[x]>sz[y]) swap(x,y);
	fa[x]=y;
	sum+=max(mn[x],mn[y]);
	chkmn(mn[y],mn[x]);
}
inline int wcmp(int *x, int a, int b, int k){
	return x[a]==x[b]&&x[a+k]==x[b+k];
}
inline void rsort(int *x, int *y){
	memset(c, 0, sizeof(c));
	for(int i=0; i<N; ++i) c[x[i]]++;
	for(int i=1; i<up; ++i) c[i]+=c[i-1];
	for(int i=N-1; i>=0; --i) sa[--c[x[y[i]]]]=y[i];
}
void getsa(){
	int *x=rk, *y=ht;
	for(int i=0; i<N; ++i) x[i]=w[i], y[i]=i;
	rsort(x,y);
	for(int k=1, p=0; p<N; k<<=1, up=p){
		p=0;
		for(int i=N-k; i<N; ++i) y[p++]=i;
		for(int i=0; i<N; ++i) if(sa[i]>=k) y[p++]=sa[i]-k;
		rsort(x,y); swap(x,y); p=0; x[sa[0]]=p++;
		for(int i=1; i<N; ++i)
			if(wcmp(y,sa[i],sa[i-1],k)) x[sa[i]]=p-1;
			else x[sa[i]]=p++;
	}
	for(int i=0; i<N; ++i) rk[sa[i]]=i;
	ht[0]=0;
	for(int i=0, j, p=0; i<N-1; ++i){
		for((p?p--:0),j=sa[rk[i]-1];w[i+p]==w[j+p];++p);
		ht[rk[i]]=p;
	}
}
int main(){
	rd(N);
	for(int i=1; i<=N; ++i) rd(w[N-i]), tmp[M++]=w[N-i];
	sort(tmp,tmp+M); M=unique(tmp,tmp+M)-tmp;
	for(int i=0; i<N; ++i) w[i]=lower_bound(tmp,tmp+M,w[i])-tmp+1;
	M=N++; up=N+1; getsa();
	sum=(ll)M*(M+1)/2;
	for(int i=0; i<N; ++i) sum-=ht[i];
	ans[N]=sum; init();
	for(int i=0; i<M; ++i){
		sum-=M-i;
		unite(rk[i],rk[i]+1);
		ans[M-i]=sum;
	}
	for(int i=2; i<=N; ++i) printf("%lld\n", ans[i]);
	return 0;
}