【题解】Atcoder ARC#94 F-Normalization
再次膜拜此强题!神级性质之不可能发现系列收藏++;首先,对于长度<=3的情况,我们采取爆搜答案(代码当中是打表)。对于长度>=4的情况,则有如下几条玄妙的性质:
首先我们将 a, b, c 三个字母看做 0, 1, 2。发现(不知道怎么发现的)当我们做出一次变换之后,数列的和在模意义下是不改变的。(*启示:很多关系好像都和取模之后的某些东西有关,例如食物链,此题,and so on)。
那么:当一个序列 T 可以由 S 转化过来时,T必须满足如下几条性质:
1.T的各位字母之和与S的各位字母之和在 %3 的意义下相等。
2.T中必须存在有两个相邻的相同字母(如果不是,不可能是变换后的结果)
当以上两条性质都不满足时,还剩下一种情况,即 S = T。
如何证明是对的?题解如是说:当 n = 4 时,我们可以用打表来验证此性质。当 n > 4 时,我们可以让第一个字母通过变换变成一样的,然后就变成了两个 n - 1 的序列。这样递归下去,当递归到 4 时,即可得证。看起来好像很对的样子,然而怎么证明一定可以把第一个字母变成一样的呢?我并不会……
建立状态 f[i][j][k][p] 表示 dp 到第 i 位,前面的和在模意义下为 j ,最后一位是 k ,是否已经有两个相邻的相同字母的方案数。然后枚举一下,转移就可以惹……
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define maxn 200050
#define mod 998244353
int n, ans, f[maxn][][][], sum;
char a[maxn]; int read()
{
int x = , k = ;
char c; c = getchar();
while(c < '' || c > '') { if(c == '-') k = -; }
while(c >= '' && c <= '') x = x * + c - '', c = getchar();
return x * k;
} bool Check()
{
for(int i = ; i <= n; i ++)
if(a[i] != a[i - ]) return ;
return ;
} bool Check2()
{
for(int i = ; i <= n; i ++)
if(a[i] == a[i - ]) return ;
return ;
} void Up(int &x, int y) { x = (x + y) % mod; }
void DP(int i, int j, int k, int p)
{
for(int q = ; q <= ; q ++)
Up(f[i + ][q][(q + k) % ][p | (j == q)], f[i][j][k][p]);
} signed main()
{
scanf("%s", a + ); n = strlen(a + );
if(Check()) { puts(""); return ; }
if(n <= )
{
if(n == ) puts("");
else
{
if(a[] != a[] && a[] != a[] && a[] != a[]) puts("");
else if(a[] == a[]) puts("");
else puts("");
}
return ;
}
for(int i = ; i <= n; i ++) sum = (sum + a[i] - 'a') % ;
for(int i = ; i <= ; i ++) f[][i][i][] = ;
for(int i = ; i <= n - ; i ++)
for(int j = ; j <= ; j ++)
for(int k = ; k <= ; k ++)
for(int p = ; p <= ; p ++)
DP(i, j, k, p);
for(int i = ; i <= ; i ++) Up(ans, f[n][i][sum][]);
Up(ans, Check2());
printf("%lld\n", ans);
return ;
}
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