【bzoj5118】Fib数列2 费马小定理+矩阵乘法

题目描述

Fib定义为Fib(0)=0,Fib(1)=1,对于n≥2,Fib(n)=Fib(n-1)+Fib(n-2)

现给出N，求Fib(2^n).

输入

本题有多组数据。第一行一个整数T，表示数据组数。

接下来T行每行一个整数N，含义如题目所示。

n≤10^15, T≤5

输出

输出共T行，每行一个整数为所求答案。

由于答案可能过大，请将答案mod 1125899839733759后输出

样例输入

2
2
31

样例输出

3
343812777493853

---

题解

费马小定理+矩阵乘法

傻逼题，根据费马小定理，指数在模 $p-1$ 意义下相等时幂数相等。

因此求出 $2^n$ 在模 $p-1$ 意义下的结果，再用矩阵乘法维护fib数列，求矩阵的 $2^n\ \text{mod}\ (p-1)$ 次幂即可。

模数较大因此使用快（man）速乘，时间复杂度 $O(\log^2n)$ 。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define mod 1125899839733759
typedef long long ll;
inline ll mul(ll x , ll y , ll p)
{
	ll ans = 0;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = (ans + x) % p;
		x = (x + x) % p , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
inline ll pow(ll x , ll y , ll p)
{
	ll ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = mul(ans , x , p);
		x = mul(x , x , p) , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
struct data
{
	ll v[2][2];
	data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
	ll *operator[](int a) {return v[a];}
	data operator*(data a)
	{
		data ans;
		int i , j , k;
		for(i = 0 ; i < 2 ; i ++ )
			for(k = 0 ; k < 2 ; k ++ )
				for(j = 0 ; j < 2 ; j ++ )
					ans[i][j] = (ans[i][j] + mul(v[i][k] , a[k][j] , mod)) % mod;
		return ans;
	}
	data operator^(ll y)
	{
		data x = *this , ans;
		ans[0][0] = ans[1][1] = 1;
		while(y)
		{
			if(y & 1) ans = ans * x;
			x = x * x , y >>= 1;
		}
		return ans;
	}
}A;
int main()
{
	int T;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		ll n;
		scanf("%lld" , &n) , n = pow(2 , n , mod - 1);
		A[0][0] = 0 , A[0][1] = A[1][0] = A[1][1] = 1 , A = A ^ n;
		printf("%lld\n" , A[1][0]);
	}
	return 0;
}