LCA与RMQ

一、什么是LCA?

LCA：Least Common Ancestors（最近公共祖先），对于一棵有根树T的任意两个节点u，v，求出LCA(T, u, v)，即离跟最远的节点x，使得x同时是u和v的祖先。

二、算法分类

　　求LCA的算法很多，按照是否在线可以分为在线算法和离线算法。
      在线算法：用比较长的时间做预处理，但是等信息充足以后每次回答询问只需要用比较少的时间。
      离线算法：先把所有的询问读入，然后一起把所有询问回答完成，不是本文所讲，Click here

三、在线算法

　　(1)什么是RMQ?

　　RMQ：给出一个数组A，回答询问RMQ(A, i, j)，即A[i...j]之间的最值的下标。

　　(2)RMQ算法，不是本文所讲，Click here

　　(3)RMQ与LCA 

　　假设一颗有根树，如图所示：

　　

　　我们可以通过深搜（从1节点开始）得到这样一个序列：

　　欧拉序列V：1 2 1 3 4 3 5 6 5 7 5 3 1

　　深度序列D：0 1 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0

　　First：1 2 4 5 7 8 10

　　First表示节点i在欧拉序列V中第一次出现的位置

　　

　　现在比如我们要求LCA(4，7)

　　那么找到节点4和7第一次出现的位置即：First(4)=5,First(7)=10

　　对应到欧拉序列V中区间[5,10]即：4 3 5 6 5 7

　　发现正好是以3为根的子树，然我我们找到这几个数中深度最小的即D(3)，说明3就是4和7的最近公共祖先

　　同理再比如说要求LCA(2,5)，First(2)=2，First(5)=7，找到对应区间[2,7]即2 1 3 4 3 5

　　然后找到深度最小的即1，说明1就是2和5的最近公共祖先。

四：例题

　　HDU 2586

　　AC CODE：

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define N 40010
#define M N*2

struct edge
{
    int u,v,w,next;
}edge[M];
int tot,head[N];

int n,m;
int idx;
bool vis[N];
int ver[*N];
int dep[*N];
int first[N];
int dis[N];
int dp[*N][];

void init()
{
    tot=;
    memset(head,-,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,int w)
{
    edge[tot].u=u;
    edge[tot].v=v;
    edge[tot].w=w;
    edge[tot].next=head[u];
    head[u]=tot++;
}
void init2()
{
    idx=;
    dis[]=;
    memset(vis,,sizeof(vis));
}
void dfs(int u,int d)
{
    vis[u]=;
    ver[++idx]=u;
    first[u]=idx;
    dep[idx]=d;
    for(int i=head[u];i!=-;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].v;
        if(!vis[v]){
            int w=edge[i].w;
            dis[v]=dis[u]+w;
            dfs(v,d+);
            ver[++idx]=u;
            dep[idx]=d;
        }
    }
}
void ST(int n)
{
    int i,j;
    for(i=;i<=n;i++) dp[i][]=i;
    for(j=;(<<j)<=n;j++){
        for(i=;i<=n;i++){
            if(i+(<<j)-<=n){
                int a=dp[i][j-];
                int b=dp[i+(<<(j-))][j-];
                dp[i][j]=dep[a]<dep[b]?a:b;
            }
        }
    }
}
int RMQ(int i,int j)
{
    int k=(int)(log((double)(j-i+))/log(2.0));
    int a=dp[i][k],b=dp[j-(<<k)+][k];
    return dep[a]<dep[b]?a:b;
}
int LCA(int u,int v)
{
    int x=first[u];
    int y=first[v];
    if(x>y) swap(x,y);
    int res=RMQ(x,y);
    return ver[res];
}
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        init();
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=;i<n;i++)
        {
            int u,v,w;
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
            add(u,v,w);
            add(v,u,w);
        }
        init2();
        dfs(,);
        ST(*n-);
        while(m--)
        {
            int u,v;
            scanf("%d%d",&u,&v);
            int lca=LCA(u,v);
            printf("%d\n",dis[u]+dis[v]-*dis[lca]);
        }
    }
    return ;
}