洛谷 [p2294] [HNOI2005] 狡猾的商人

差分约束做法

又是一道转换成前缀和的差分约束题，已知从s月到t月的收入w，设数组pre[i]代表从开始到第i个月的总收入

构造差分不等式 $ pre[s-1]-pre[t]==w $

为了满足松弛操作，我们将不等式转化成 $ pre[s-1]-pre[t]>=w $

这样建图以后我们发现当且仅当图中出现正环或负环时，账本为假，

我们可以直接在建图时加入一条反向的权值相反的边，这样直接判断负环即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define RST(a) memset((a),0,sizeof((a)))
using namespace std;
int init(){
	int rv=0,fh=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') fh=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return fh*rv;
}
int T,head[10005],nume,dis[10005];
bool f[10005];
struct edge{
	int to,nxt,dis;
}e[10005];
void adde(int from,int to,int dis){
	e[++nume].to=to;
	e[nume].dis=dis;
	e[nume].nxt=head[from];
	head[from]=nume;
}
bool dfs_SPFA(int u){
	f[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].to;
		if(dis[v]>dis[u]+e[i].dis){
			dis[v]=dis[u]+e[i].dis;
			if(f[v]) return 1;
			if(dfs_SPFA(v)) return 1;
		}
	}
	f[u]=0;
	return 0;
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	T=init();
	while(T--){
		RST(dis);RST(head);RST(e);nume=0;RST(f);
		int n=init(),m=init();
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int u=init(),v=init(),di=init();
			adde(u-1,v,di);
			adde(v,u-1,-di);
		}
		bool fff=0;
		for(int i=0;i<=n;i++){
			if(dfs_SPFA(i)) {fff=1;break;}
		}
		if(fff) printf("false\n");
		else printf("true\n");
	}
	fclose(stdin);
	return 0;
}

并查集做法

本题也可以维护一个带权并查集，

fa[i]表示i号元素的父亲节点,root[i]表示i所在并查集的代表元，dis[i]=pre[i]-pre[root[i]]。所以我们可以维护一个带权并查集。

并查集的两个关键操作，查询和合并

find：

带权并查集的一般写法，更新父节点时，一并更新dis[].

因为原来\(dis[x]=pre[x]-pre[fa[x]]\),更新后\(dis[fa[x]]=pre[fa[x]]-pre[root[x]]\),所以 \(dis[x]+=dis[fa[x]]\)就更新完成了。

merge

如果读入的两个点在同一个并查集中，判断dis[u-1]-dis[v]是否等于w，若不等于，则为假。

如果不在同一个并查集中，使\(fa[root[u-1]]=root[v]\).

注意，此处为了保证合并以后原有的数量关系不发生改变，要注意 dis[root[u-1]]更新的时候加上的数值，可以在本上画一下。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#define RST(a) memset((a),0,sizeof((a)))
using namespace std;
int init(){
	int rv=0,fh=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-') fh=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		rv=(rv<<1)+(rv<<3)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return fh*rv;
}
int T,fa[10005],dis[10005];
int find(int x){
	if(fa[x]!=x){
		int t=find(fa[x]);
		dis[x]+=dis[fa[x]];
		fa[x]=t;
	}
	return fa[x];
}
int main(){
	freopen("in.txt","r",stdin);
	T=init();
	while(T--){
		bool fff=0;
		RST(fa);RST(dis);
		int n=init(),m=init();
		for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			int u=init(),v=init(),w=init();
			int r1=find(u-1),r2=find(v);
			if(r1==r2){
				if(!fff&&dis[v]-dis[u-1]!=w) fff=1,printf("false\n");
			}else{
				fa[r1]=r2;
				dis[r1]=dis[v]-dis[u-1]-w;
			}
		}
		if(!fff) printf("true\n");
	}
	fclose(stdin);
	return 0;
}