[USACO07NOV]牛继电器Cow Relays

题目描述

给出一张无向连通图，求S到E经过k条边的最短路。

输入输出样例

输入样例#1：

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

输出样例#1：

10
题解：
法1：dp+floyd+倍增
f[i][j][p]为从i到j经过2^p条边
显然f[i][j][p]=min(f[i][k][p-1]+f[k][j][p-1])
如果n不是2的幂也没事，将n进行二进制分解，再用dp转移
ans[x][i]=min(ans[!x][j]+f[i][j][p]) n的二进制第p位为1

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int n,t,s,e,f[][][],ans[][],num[],pos,logn;
 int main()
 {int i,d,u,v,p,j,k;
     cin>>n>>t>>s>>e;
     memset(f,/,sizeof(f));
     memset(ans,/,sizeof(ans));
     for (i=;i<=t;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&d,&u,&v);
         if (!num[u]) num[u]=++pos;
         if (!num[v]) num[v]=++pos;
         f[num[u]][num[v]][]=f[num[v]][num[u]][]=d;
     }
      logn=log2(n);
       for (p=;p<=logn;p++)
       {
             for (k=;k<=pos;k++)
             {
                 for (i=;i<=pos;i++)
                 {
                     for (j=;j<=pos;j++)
                     {
                         f[i][j][p]=min(f[i][j][p],f[i][k][p-]+f[k][j][p-]);
                     }
                 }
             }
       }
       t=;p=;
       ans[][num[s]]=;
         while (n)
         {
             if (n&)
             {
                 t=!t;
                  for (i=;i<=pos;i++)
                  {ans[t][i]=2e9;
                     for (j=;j<=pos;j++)
                     {
                         ans[t][i]=min(ans[t][i],ans[!t][j]+f[i][j][p]);
                     }
                  }
             }
             p++;
             n/=;
         }
     cout<<ans[t][num[e]];
 }

法二：矩阵乘法

可知用邻接矩阵表示时，floyd的过程可以视为矩阵运算，且满足交换律

意思就是先求出走1条边的矩阵，再求出找4条边矩阵

等价于先求出走2条边的矩阵，在求出找3条边矩阵

重载矩阵乘法为floyd的过程，做快速幂就行

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int n,t,s,e,f[][],num[],pos;
 struct mat
 {
     int s[][];
     mat()
     {int i,j;
         for (i=;i<=pos;i++)
          for (j=;j<=pos;j++)
          s[i][j]=1e9;
     }
      mat operator*(const mat &x)
      {int i,j,k;
         mat ans;
         for (k=;k<=pos;k++)
         {
             for (i=;i<=pos;i++)
              {
                 for (j=;j<=pos;j++)
                 {
                     ans.s[i][j]=min(ans.s[i][j],s[i][k]+x.s[k][j]);
                 }
              }
         }
         return ans;
      }
 }S,T;
 int main()
 {int i,j,d,u,v;
     cin>>n>>t>>s>>e;
     for (i=;i<=t;i++)
     {
         scanf("%d%d%d",&d,&u,&v);
         if (!num[u]) num[u]=++pos;
         if (!num[v]) num[v]=++pos;
         f[num[u]][num[v]]=f[num[v]][num[u]]=d;
     }
     mat S,T;
     for (i=;i<=pos;i++)
     for (j=;j<=pos;j++)
     if (f[i][j])
      S.s[i][j]=T.s[i][j]=f[i][j];
       n--;
       while (n)
       {
             if (n&)
             {
                 S=S*T;
             }
             T=T*T;
             n>>=;
       }
     cout<<S.s[num[s]][num[e]];
 }