【NOIP 2017】逛公园

Description

策策同学特别喜欢逛公园。公园可以看成一张N个点M条边构成的有向图，且没有 自环和重边。其中1号点是公园的入口，N号点是公园的出口，每条边有一个非负权值， 代表策策经过这条边所要花的时间。

策策每天都会去逛公园，他总是从1号点进去，从N号点出来。

策策喜欢新鲜的事物，它不希望有两天逛公园的路线完全一样，同时策策还是一个 特别热爱学习的好孩子，它不希望每天在逛公园这件事上花费太多的时间。如果1号点 到N号点的最短路长为d，那么策策只会喜欢长度不超过d+K的路线。

策策同学想知道总共有多少条满足条件的路线，你能帮帮它吗？

为避免输出过大，答案对P取模。

如果有无穷多条合法的路线，请输出−1。

solution

正解：拓扑序DP

这题其实有两个拓扑序，一个是 \(dis[i]\) ,即1到 \(i\) 的最短路的长度，另外一个就是图本身的拓扑序了，我们单独拿出满足1到 任意一点\(i\) 最短路的边，然后做DP即可，状态设计为 \(f[i][j]\)，表示到达点 \(i\)，路径长度为 \(dis[i]+j\) 的方案数，然后枚举转移即可，判 \(-1\) 的方法很巧妙，因为边的长度为0，所以0环上的点的 \(dis\) 都满足拓扑序，也就是拓扑排序中会出现环，那么直接判掉即可，即如果存在某个0环上的一点 \(i\) 满足 \(dis[S][i]+dis[i][T]<=dis[S][T]+K\) 那么就有无穷多的方案数了

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=200005,inf=2e8;
int f[2][N],mod,n,m,K,head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],dis[N<<1],num=0;
bool vis[N],imp[N];int Head[N];
void link(int x,int y,int z){
	nxt[++num]=head[x];to[num]=y;dis[num]=z;head[x]=num;}
void Link(int x,int y,int z){
	nxt[++num]=Head[x];to[num]=y;dis[num]=z;Head[x]=num;}

queue<int>q;
void priwork(bool t){
	for(int i=1;i<=n;i++)vis[i]=0,f[t][i]=inf;
	if(t==0)q.push(1),vis[1]=1,f[t][1]=0;
	else q.push(n),vis[n]=1,f[t][n]=0;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=(t?Head[x]:head[x]);i;i=nxt[i]){
			RG int u=to[i];
			if(f[t][x]+dis[i]<f[t][u]){
				f[t][u]=f[t][x]+dis[i];
				if(!vis[u])vis[u]=1,q.push(u);
			}
		}
		vis[x]=0;
	}
}

int dp[N][55],d[N],sum=0,Q[N];
void solve(){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=head[i];j;j=nxt[j])
			if(f[0][i]+dis[j]==f[0][to[j]])d[to[j]]++;
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!d[i])Q[++sum]=i;
	RG int t=0;int x,u;
	while(t!=sum){
		x=Q[++t];
		for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
			u=to[i];
			if(f[0][x]+dis[i]==f[0][u]){
				d[u]--;
				if(!d[u])Q[++sum]=u;
			}
		}
	}
}

void Clear(){
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(RG int i=0;i<N;i++)Q[i]=d[i]=head[i]=Head[i]=imp[i]=0;
	sum=0;num=0;
}
inline void add(RG int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
void work()
{
	Clear();
	int x,y,z;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&K,&mod);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		link(x,y,z);Link(y,x,z);
	}
	priwork(0);priwork(1);solve();

	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(d[i]>0 && f[0][i]+f[1][i]<=f[0][n]+K){
			puts("-1");return ;
		}

	dp[1][0]=1;
	for(int k=0;k<=K;k++){
		for(int P=1;P<=sum;P++){
			int i=Q[P];
		   if(!dp[i][k])continue;
			for(RG int j=head[i];j;j=nxt[j]){
				x=to[j];
				if(f[0][i]+dis[j]==f[0][x])
					add(dp[x][k],dp[i][k]);
			}
		}
		for(RG int i=1;i<=n;i++){
			if(!dp[i][k])continue;
			for(RG int j=head[i];j;j=nxt[j]){
				x=to[j];
				if(f[0][i]+dis[j]!=f[0][x]
					&& f[0][i]+k+dis[j]-f[0][x]<=K)
					add(dp[x][f[0][i]+k+dis[j]-f[0][x]],dp[i][k]);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=K;i++)add(ans,dp[n][i]);
	printf("%d\n",ans);
}

int main()
{
	freopen("park.in","r",stdin);
	freopen("park.out","w",stdout);
	int T;cin>>T;
	while(T--)work();
	return 0;
}