一、题目链接

  http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5226

二、题意

  给一个大矩阵,其中,$a[i][j] = C_i^j$。输入5个参数,$x_1, y_1, x_2, y_2, p$,输出:以$x_1, y_1$为左上角,$x_2, y_2$为右下角的子矩阵中所有值累加和$\% p$的结果。

三、思路

  看完题意后,想了一会儿,实在想不到如何降低复杂度。于是,就去看题解了。(PS:想了大概20分钟左右后还是没思路可以果断去看题解了。既然不知道方法,想再久也没用,最后还是要看题解的)。所以,我这篇文章,只是对知识点的整理和总结,而不是原创思路的分享。

  对于组合数来说,有$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$。看个表。

  这个表大家都很熟悉,就是组合数的表,因为$C_n^m = C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m$,所以,\[C_{n+1}^m = C_n^{m-1} + C_n^m = C_n^{m-1} + C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^m = C_n^{m-1} + C_{n-1}^{m-1} + C_{n-2}^{m-1}+C_{n-2}^{m}\],由上述递推式可以发现,要计算$\sum\limits_{i=x_1}^{x_2}a[i][y]$,只要计算$C_{x_2+1}^{y+1} - C_{x_1}^{y+1}$即可。而且,更巧的是,对于对角线上的值,该式子也成立。

  那么,有了上述推论,复杂度就降了一个维度了。从$y_1$枚举每一列到$y_2$,对每一列使用上述公式求值即可。

  在做组合数求模$C_n^m\ \%\ p$的过程中,因为有可能存在$p \le \frac{n}{m}$的样例,那么就会出现这么一种情况:$p | n!, p | m!, p | (n-m)!$,如果使用n的阶乘*m的阶乘的逆元*(n-m)的阶乘的逆元来计算,返回值会是0。而实际上,真正的返回值并不一定是0。举个例子:

\[C_6^2 = \frac{6!}{2! * 4!} = \frac{720}{2 * 24} = 15\]

\[C_6^2\ \%\ 2 = 15\ \%\ 2 = 1 \ne 0 \]

  所以,直接做计算组合数求模是不行的(也就是说,如果存在上述情况,用扩展欧几里得算法、费马小定理算法都不行了),要用lucas定理才行。

  另外,还要注意的一点是,在初始化阶乘数组的时候,千万别忘了初始化阶乘逆元数组的第0个元素。即:inv[0] = 1。

四、源代码

  

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define MAXN 100100
using namespace std;
typedef long long LL;
LL facts[MAXN], inv0[MAXN], x1, x2, y1, y2, p;

LL qpow(LL a, LL x) {
    LL res = ;
    ) {
        )res = (res * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        x >>= ;
    }
    return res;
}

void init() {
    facts[] = inv0[] = ;
    ; i < MAXN; ++i) {
        facts[i] = (facts[i - ] * i) % p;
        inv0[i] = qpow(facts[i], p - );
    }
}

LL C(LL n, LL m) {
    ;
    );
    )return n % p;
    return facts[n] * inv0[m] % p * inv0[n - m] % p;
}

LL lucas(LL n, LL m) {
    if(n < p && m < p)return C(n, m);
    else return lucas(n / p, m / p) * lucas(n % p, m % p) % p;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.txt", "r", stdin);
#endif
    while(~scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d %I64d", &x1, &y1, &x2, &y2, &p)) {
        init();
        LL ans = ;
        ;i <= y2 + ;++i)ans = (ans + lucas(x2 + , i) - lucas(x1, i) + p) % p;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    ;
}

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