Lecture4_1&4_2.多维随机变量及其概率分布

1.二维随机变量(X,Y)的联合分布函数：

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)

2.二维随机变量(X,Y)关于X的边缘分布函数：

F_X(x)=P(X≤x)

　　 =P(X≤x,Y<+∞)

　　 =F(x,+∞)

3.边缘分布函数与边缘概率密度

$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$

$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$

$F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f_X(x)dx=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dydx$

$F_Y(y)=\int_{-\infty}^{y}f_Y(y)dy=\int_{-\infty}^{y}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy$

4.二维离散型随机变量联合概率分布

称P(X=x_i,Y=y_i)=p_ij为(X,Y)的联合概率分布，也称概率分布或分布律

直观表示：概率分布表或分布律表

p_ij利用古典概型或乘法公式直接求解

5.随机变量的独立性

若P(X≤x,Y≤y)=P(X≤x)P(Y≤y)，则X与Y相互独立

<==>对离散型随机变量所有取值有P(X=x_i,Y=y_j)=P(X=x_i)P(Y=y_j)

<==>对二维连续随机变量所有连续取值f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

重要结论：

若f(x,y)=r(x)g(y)，X,Y相互独立

(1)

f_X(x)=f_X|Y(x|y)【注：f(x|y)=f(x,y)/f_Y(y)】

f_Y(y)=f_Y|X(y|x)

(2)

f_X(x)=$\frac{r(x)}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}r(x)dx}$

f_Y(y)=$\frac{g(y)}{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(y)dy}$

(3)

若F(x,y)=R(x)G(y)

则F(x)=$\frac{R(x)}{R(+\infty)}$

F(y)=$\frac{G(y)}{G(+\infty)}$

6.二维连续随机变量函数的分布

Z=X+Y

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx$或$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy$

特别地，X,Y相互独立，则（卷积神经公式）

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$　　//当分别给出X,Y的密度函数时使用