[物理学与PDEs]第3章习题3电磁场的矢势在 Lorentz 规范下满足的方程

设 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 分别为电磁场的标势及矢势 (见第一章 $\S$ 6). 试证明: 若 $\phi$ 及 ${\bf A}$ 满足条件 $$\bex \phi+\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\Div{\bf A}=0, \eex$$ 则方程 (2. 32) 可写为如下的形式: $$\bex \cfrac{\p {\bf A}}{\p t}={\bf u}\times\rot{\bf A}+\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\lap{\bf A}. \eex$$

证明: 由 (2. 3) 知 $$\bex \exists\ {\bf A},\st {\bf B}=\rot{\bf A}. \eex$$ 又由 (2. 2) 知 $$\bex \rot\sex{{\bf E}+\cfrac{\p {\bf A}}{\p t}}={\bf 0}\ra \exists\ \phi,\st {\bf E}+\cfrac{\p{\bf A}}{\p t}=-\n\phi.  \eex$$ 而 $$\beex \bea {\bf E}+\cfrac{\p {\bf A}}{\p t} &=-\n\phi\\ &=\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\n\Div{\bf A}\\ &=\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\sex{\lap{\bf A}+\rot{\bf B}}\quad\sex{-\lap{\bf A}=\rot\rot{\bf A}-\n\Div{\bf A}},\\ \cfrac{\p{\bf A}}{\p t}-\cfrac{1}{\sigma \mu_0}\lap{\bf A} &=\cfrac{1}{\sigma\mu_0}\rot{\bf B}-{\bf E}\\ &=\cfrac{1}{\sigma\mu_0} \rot{\bf B}-\sex{\cfrac{1}{\sigma}\rot{\bf H}-\mu_0{\bf u}\times{\bf H}} \quad\sex{(2. 10)}\\ &={\bf u}\times{\bf B}\\ &={\bf u}\times \rot{\bf A}. \eea \eeex$$