论文笔记：空间变换网络（Spatial Transformer Networks）

2015, NIPS
Max Jaderberg, Karen Simonyan, Andrew Zisserman, Koray Kavukcuoglu
Google DeepMind

为什么提出（Why）

1. 一个理想中的模型：我们希望鲁棒的图像处理模型具有空间不变性，当目标发生某种转化后，模型依然能给出同样的正确的结果
2. 什么是空间不变性：举例来说，如下图所示，假设一个模型能准确把左图中的人物分类为凉宫春日，当这个目标做了放大、旋转、平移后，模型仍然能够正确分类，我们就说这个模型在这个任务上具有尺度不变性，旋转不变性，平移不变性
3. CNN在这方面的能力是不足的：maxpooling的机制给了CNN一点点这样的能力，当目标在池化单元内任意变换的话，激活的值可能是相同的，这就带来了一点点的不变性。但是池化单元一般都很小（一般是2*2），只有在深层的时候特征被处理成很小的feature map的时候这种情况才会发生
4. Spatial Transformer：本文提出的空间变换网络STN（Spatial Transformer Networks）可以使得模型具有空间不变性。

STN是什么（What）

1. STN对feature map（包括输入图像）进行空间变换，输出一张新的图像。
2. 我们希望STN对feature map进行变换后能把图像纠正到成理想的图像，然后丢进NN去识别，举例来说，如下图所示，输入模型的图像可能是摆着各种姿势，摆在不同位置的凉宫春日，我们希望STN把它纠正到图像的正中央，放大，占满整个屏幕，然后再丢进CNN去识别。
3. 这个网络可以作为单独的模块，可以在CNN的任何地方插入，所以STN的输入不止是输入图像，可以是CNN中间层的feature map

STN是怎么做的（How）

1. 如下图所示，STN的输入为U，输出为V，因为输入可能是中间层的feature map，所以画成了立方体（多channel），STN主要分为下述三个步骤
2. Localisation net：是一个自己定义的网络，它输入U，输出变化参数\(\Theta\)，这个参数用来映射U和V的坐标关系
3. Grid generator：根据V中的坐标点和变化参数\(\Theta\)，计算出U中的坐标点。这里是因为V的大小是自己先定义好的，当然可以得到V的所有坐标点，而填充V中每个坐标点的像素值的时候，要从U中去取，所以根据V中每个坐标点和变化参数\(\Theta\)进行运算，得到一个坐标。在sampler中就是根据这个坐标去U中找到像素值，这样子来填充V
4. Sampler：要做的是填充V，根据Grid generator得到的一系列坐标和原图U（因为像素值要从U中取）来填充，因为计算出来的坐标可能为小数，要用另外的方法来填充，比如双线性插值。

下面针对每个模块阐述一下
(1) Localisation net
这个模块就是输入U，输出一个变化参数\(\Theta\)，那么这个\(\Theta\)具体是指什么呢？
我们知道线性代数里，图像的平移，旋转和缩放都可以用矩阵运算来做
举例来说，如果想放大图像中的目标，可以这么运算，把(x,y)中的像素值填充到(x',y')上去，比如把原来(2,2)上的像素点，填充到(4,4)上去。
\(\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 &0\\0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\)

如果想旋转图像中的目标，可以这么运算（可以在极坐标系中推出来，证明放到最后的附录）
\(\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos \Theta & -sin \Theta\\ sin \Theta& cos\Theta\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\ 0\end{bmatrix}\)

这些都是属于仿射变换（affine transformation）
\(\begin{bmatrix}x^{'}\\ y^{'}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b \\ c& d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\ y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}e\\ f\end{bmatrix}\)
在仿射变化中，变化参数就是这6个变量，\(\Theta = \{a,b,c,d,e,f\}\)（此\(\Theta\)跟上述旋转变化里的角度\(\Theta\)无关）
这6个变量就是用来映射输入图和输出图之间的坐标点的关系的，我们在第二步grid generator就要根据这个变化参数，来获取原图的坐标点。

(2) Grid generator
有了第一步的变化参数，这一步是做个矩阵运算，这个运算是以目标图V的所有坐标点为自变量，以$ \Theta $为参数做一个矩阵运算，得到输入图U的坐标点。
\[ \begin{pmatrix}x_{i}^{s}\\ y_{i}^{s}\end{pmatrix}=\Theta \begin{pmatrix}x_{i}^{t}\\ y_{i}^{t}\\ 1\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
\Theta _{11} & \Theta _{12} & \Theta _{13}\\ \Theta _{21}
& \Theta _{22} & \Theta _{23}
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}
x_{i}^{t}\\ y_{i}^{t}
\\ 1
\end{pmatrix}\]

其中$ {(x_{i}^{t},y_{i}^{t})}$记为输出图V中的第i个坐标点，V中的长宽可以和U不一样，自己定义的，所以这里用i来标识第几个坐标点
$ {(x_{i}^{s},y_{i}^{s})}$记为输入图U中的点，这里的i是从V中对应过来的，表示V中的第i的坐标点映射的U中坐标，i跟U没有关系

(3) Sampler
由于在第二步计算出了V中每个点对应到U的坐标点，在这一步就可以直接根据V的坐标点取得对应到U中坐标点的像素值来进行填充，而不需要经过矩阵运算。需要注意的是，填充并不是直接填充，首先计算出来的坐标可能是小数，要处理一下，其次填充的时候往往要考虑周围的其它像素值。填充根据的公式如下。
\[V_{i}=\sum _n \sum _m U_{nm}*k(x_{i}^{s}-m;\phi _x)*k(y_{i}^{s}-n;\phi _y)\]
其中n和m会遍历原图U的所有坐标点，\(U_{nm}\)指原图U中某个点的像素值，k()为取样核，两个\(\phi\)为参数，\((x_{i}^{s},y_{i}^{s})\)表示V中第i个点要到U图中找的对应点的坐标，表示的坐标是U图上的，k表示使用不同的方法来填充，通常会使用双线性插值，则会得到下面的公式
\[V_{i}=\sum _n \sum _m U_{nm}*max(0, 1 - |x_{i}^{s}-m|)*max(0, 1 - |y_{i}^{s}-n|)\]

举例来说，我要填充目标图V中的（2，2）这个点的像素值，经过以下计算得到（1.6，2.4）
\[\begin{pmatrix}x_{i}^{s}\\ y_{i}^{s}\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
\Theta _{11} & \Theta _{12} & \Theta _{13}\\ \Theta _{21}
& \Theta _{22} & \Theta _{23}
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}
x_{i}^{t}\\ y_{i}^{t}
\\ 1
\end{pmatrix}\]

\[\begin{pmatrix}1.6\\ 2.4\end{pmatrix}
=\begin{bmatrix}
0 & 0.5 & 0.6\\ 1
& 0 & 0.4
\end{bmatrix}\begin{pmatrix}
2\\ 2
\\ 1
\end{pmatrix}\]
如果四舍五入后直接填充，则难以做梯度下降。
我们知道做梯度下降时，梯度的表现就是权重发生一点点变化的时候，输出的变化会如何。
如果用四舍五入后直接填充，那么（1.6，2.4）四舍五入后变成（2，2）
当\(\Theta\)（我们求导的时候是需要对\(\Theta\)求导的）有一点点变化的时候，（1.6，2.4）可能变成了（1.9，2.1）四舍五入后还是变成（2，2），输出并没有变化，对\(\Theta\)的梯度没有改变，这个时候没法用梯度下降来优化\(\Theta\)

如果采用上面双线性插值的公式来填充，在这个例子里就会考虑（2，2）周围的四个点来填充，这样子，当\(\Theta\)有一点点变化的时，式子的输出就会有变化，因为$(x_{i}^{s},y_{i}^{s}) $的变化会引起V的变化。注意下式中U的下标，第一个下标是纵坐标，第二个下标才是横坐标。
\[V = U_{21}(1-0.6)(1-0.4)+ U_{22}(1-0.4)(1-0.4)+ U_{31}(1-0.6)(1-0.6)+ U_{32}(1-0.4)(1-0.6)\]

(4) STN小结
简单总结一下，如下图所示

1. Localization net根据输入图，计算得到一个\(\Theta\)
2. Grid generator根据输出图的坐标点和\(\Theta\)，计算出输入图的坐标点，举例来说想知道输出图上（2，2）应该填充什么坐标点，则跟\(\Theta\)运算，得到（1.6，2.4）
3. Sampler根据自己定义的填充规则（一般用双线性插值）来填充，比如（2，2）坐标对应到输入图上的坐标为（1.6，2.4），那么就要根据输入图上（1.6，2.4）周围的四个坐标点（1，2），（1，3），（2，2），（2，3）的像素值来填充。

【实验】Distorted MNIST

【实验】SVHN: Street View House Numbers

【 实验】CUB-200-2011 birds dataset

【附录】旋转的矩阵运算