Codeforces - tag::dp 大合集 [占坑 6 / inf]

Gym - 100753J

某国家仅有金币和银币两种货币，起汇率为g，纪念品市场有n个商人和商品，商人结帐只用银币，并且把一堆银币装在袋子里，分为三种类型，分别按向下/向上/四舍五入取整（其中向上的优先使用银币交易），你要用c个金币买尽量多纪念品，输出最多纪念品数

细节较多的二维背包水题，差点没把我气死

注意不要把第三维改成纪念品数而答案为最多保留的银币数

不然无法处理generous的情况

https://paste.ubuntu.com/p/WNCSWc9rfs/

407B

要求从节点1走到节点n+1,每个节点有2个出口,当奇数次经过\(i\)时走到\(p_i,p_i≤i\)节点,偶数次经过时走到\(i+1\)节点,求走过的步数模1e9+7

设1到i+1的步数:\(dp[i+1]=dp[i]+1+dp[i]-dp[p[i]]+1\)(对于i分为奇偶两次遍历)
设到i+1的步数:\(dp[i]=1+dp[p[i]]+dp[p[i]+1]+...+dp[i-1]+1\)(到达i+1时,对于1...i都是偶数步)
设\(dp[i][j]:\) \(i\)到\(j\)的步数:\(dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[p[j-1]][j-1]+1\)(对于j-1,i到j-1为奇数步,p[j-1]到j-1位偶数步)
注意p[i]可等于i因此i=j时也算1步

5C

求最长的括号匹配和对应的个数

栈+DP

\(l\)为当前匹配下标,\(dp\)为最早匹配下标

https://paste.ubuntu.com/p/xJY6FBgy9h/

340D

给定一个序列,对其进行冒泡排序,每次交换都会两个元素连边形成冒泡排序图,求该图中的最大点独立集

看不出来orz,%了题解后感觉十分不可思议orz

https://www.cnblogs.com/hehe54321/p/cf-340d.html

814C

给定一个长度1k5的串,2e5次询问最多修改k个数求字符ch的最大连续区间

设\(dp[i][j][k]\):从\(i\)到\(j\)把字符全部变为\(k\)的最小代价

记\(ans[i][k]\):最多修改\(i\)次的最长连续\(k\)字符区间的递推答案,注意是最多,不是exactly

那么可以在\(O(26n^3)\)以内完成预处理

https://paste.ubuntu.com/p/mVFPtfBCzs/

607B

给定一个数组a[1...n],每次操作可消除一个回文子串,求最少操作次数使得原串被消除

区间dp

https://paste.ubuntu.com/p/KvhRwWZCGG/

660C

(然而这是一道二分题目)

题意:给定\(a[1...n]\)的01串,至多可以使k个0变为1,求最长的连续全1串的长度及方案

维护sum[i]:前i项中0的个数

那么每次可以通过sum的单调性二分出最远的可连续更改位置

注意判断条件

https://paste.ubuntu.com/p/R92nXsk9Hv/

812B(水)

题意:n层楼每层m个房间2个楼梯,每一层关灯后才可以上再高一层,问灯全关的最少步数

对楼梯记录来自下层哪个楼梯的最优代价即可,有点细节(WA了你就知道了

https://paste.ubuntu.com/p/2ThySDZF62/

766C

题意:给出一个串和每个字符允许存在的最多次数,求分割合法子串方案数/可能的最长子串长度/可能的最少的子串数

枚举分割的子串既要求每个字符满足a[str[x]-'a']<=i-j+1

方案数只需加上之前分割出的段的方案数

https://paste.ubuntu.com/p/k2GscFnfzC/

270D

题意:n个实数点m个种类,求最少移动多少个点使得m-1个隔板中间都是同一种类并且种类是升序的

最多不移动的点就是LIS

n-LIS就是所求

505C

节省空间

557C

629C

题意:定义合法串,串中只有a和b,前缀和满足\(prea_i≥preb_i\),且最后一位\(prea=preb\),现在给定了长为m的串,要求构造出p+q,使p+s+q为合法串,求构造的方案数,n≤100000,n-m≤2000

定义\(dp[i][j]\):前\(i\)位\(prea_i-preb_i=j\)的方案数,转移方程为\(dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1]\)

此时\(dp[i][-j]=dp[i][j]\)

预处理出n-m的所有方案
对于p串,设包含\(prea',preb'\)要求随时满足\(prea'+prea-preb'-preb≥0\),既\(prea'-preb'≥min(prea_i-preb_i)\)
在满足p+q在任意位置均合法的情况下,对于q串,设包含\(prea'',preb''\),要求满足\(prea'+prea+prea''-preb'-preb-preb''=0\),既\(prea''-preb''=prea-preb+prea'-preb'\)
注意枚举时长度的限制

https://paste.ubuntu.com/p/fPRybn45S2/

ZOJ - 4027(乱入)

待做/不想做:1005D/219C/798C/919D

probabilities

839C

题意:求从一棵树的根随机跑到叶子的期望长度

对叶子设\(dp[u]=0\),其余部分\(dp[u]=1+\sum dp[v]/cnt\)

453A

题意: 有一个m面均匀骰子,求抛n次的最大面的期望数值

每次抛都是独立的,可看作n个骰子(然并卵),对于n个骰子单次抛出最大面为1的概率\(\frac{1}{m^n}\),最大面为2的概率为\((\frac{2}{m})^n-(\frac{1}{m})^n\),最大面为\(i\)的概率为\((\frac{i}{m})^n-(\frac{i-1}{m})^n\),每次乘上\(i\)便得到期望

312B

题意:Alice和Bob在玩游戏,Alice的单次胜率为\(a/b\),Bob的位\(c/d\),Alice先手,求Alice获胜的概率

第一次获胜 \(a/b\)
第三次获胜 \((1-a/b)*(1-c/d)*a/b\)
第五次获胜 \((1-a/b)*(1-c/d)*(1-a/b)*(1-c/d)*a/c=[(1-a/b)(1-c/d)]^2*a/b\)
令\(p=a/b,q=(1-a/b)(1-c/d)\),答案为\(p\sum_{i=0}^{∞} q^i=p*(1/(1-q))\)