Softmax回归

Reference：

http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax_regression

http://deeplearning.net/tutorial/logreg.html

起源：Logistic的二类分类

Softmax回归是Logistic回归的泛化版本，用于解决线性多类（K类）的分类问题。

Logistic回归可以看作是Softmax回归在K=2时的特例。Softmax函数即是K分类版的Logistc函数。

裸Softmax回归的效果很差，因为没有隐层结构，归根还是是线性回归。所以在深度学习里，Softmax则通常作为MLP的输出层。

即，将BP网络和Softmax结合起来，取BP网络的隐层映射机制、Softmax的多分类机制，加以组合形成新的MLP架构。

这么做的原因就是，传统BP网络的输出层是个多神经元的自行设计接口层，比如常见的log2(K)方法，转多分类需要麻烦的编码。

但实际上，隐层（可看作是input）到输出层的映射原理等效于Softmax，既然Softmax拥有概率取分类的方法，何必再用低效的编码方法？

Part I  如何从2类转化为K类？

解决方案是引入K组（W、b）参数，即有K个分隔超平面，选择$max P（Y=j|x^{i},\theta,b)$作为最终分类即可。

由于存在K组参数，原来的$h(\theta)=sigmoid(Inner)$将从单个值，变成一个大小为K的向量。

Part II  变化的目标函数

Logistic的目标函数： $J(\theta)=\sum_{i=1}^{m}(1-y^{(i)})log(1-h_{\theta}(x^{i})+y^{i}log(h_{\theta}(x^{(i)}))$

在Softmax里，由于$h_{\theta}(x^{(i)}$已经变成了向量，所以不能再使用。

实际上，在Logistic的推导里，$h_{\theta}(x^{(i)})$只是偶然而已，$P(y=0|x;\theta)=h(\theta)$。

即$P(y|x;\theta))$才是真正的概率分布函数,上述情况只是二项分布的特例。由于y的取值变成的K类，所以新的K项分布概率密度分布表示如下：

$P(y^{(i)}=j|x;\theta)=\frac{e^{W_{j}X^{i}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{W_{l}X^{i}}}$

且定义$1\{y_{i}=j\}=(y_{i}==j)?1:0$

则  $J(\theta)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=0}^{l}1\{y_{i}=j\}log\frac{e^{W_{j}X^{i}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{W_{l}X^{i}}}$

仔细观察，其实就是$h_{\theta}(x^{(i)})$这个向量根据$y^{(i)}$情况抽取的单个值而已，这就是Logistic函数的修改版本——Softmax函数

梯度变成：$\frac{\partial J(\theta_{j})}{\partial \theta_{j}}=\sum_{i=1}^{m}x^{(i)}(1\{y_{i}=j\}-P(y^{(i)}=j|x;\theta_{j})),j=1,2....k$

可以使用梯度上升算法了（下降算法也可，即取均值加上负号，变成负对数似然函数）：

$\theta_{j}^{new}=\theta_{j}^{new}+\alpha\frac{\partial J(\theta_{j})}{\partial \theta_{j}},j=1,2....k$

Part III  C++代码与实现

#include "cstdio"
#include "iostream"
#include "fstream"
#include "vector"
#include "sstream"
#include "string"
#include "math.h"
using namespace std;
#define N 500
#define delta 0.0001
#define alpha 0.1
#define cin fin
#define K 2
#define Dim dataSet[0].feature.size()
struct Data
{
    vector<double> feature;
    int y;
    Data(vector<double> feature,int y):feature(feature),y(y) {}
};
struct Parament
{
    vector<double> w;
    double b;
    Parament() {}
    Parament(vector<double> w,double b):w(w),b(b) {}
};
vector<Data> dataSet;
vector<Parament> parament;
void read()
{
    ifstream fin("fullTrain.txt");
    double fea;int cls;
    string line;
    while(getline(cin,line))
    {
        stringstream sin(line);
        vector<double> feature;
        while(sin>>fea) feature.push_back(fea);
        cls=feature.back();feature.pop_back();
        dataSet.push_back(Data(feature,cls));
    }
    for(int i=;i<K;i++) parament.push_back(Parament(vector<double>(Dim,0.0),0.0));
}
double calcInner(Parament param,Data data)
{
    double ret=0.0;
    for(int i=;i<data.feature.size();i++) ret+=(param.w[i]*data.feature[i]);
    return ret+param.b;
}
double calcProb(int j,Data data)
{
    double ret=0.0,spec=0.0;
    for(int l=;l<=K;l++)
    {
        double tmp=exp(calcInner(parament[l-],data));
        if(l==j) spec=tmp;
        ret+=tmp;
    }
    return spec/ret;
}
double calcLW()
{
    double ret=0.0;
    for(int i=;i<dataSet.size();i++)
    {
        double prob=calcProb(dataSet[i].y,dataSet[i]);
        ret+=log(prob);
    }
    return ret;
}
void gradient(int iter)
{
    /*batch (logistic)
    for(int i=0;i<param.w.size();i++)
    {
        double ret=0.0;
        for(int j=0;j<dataSet.size();j++)
        {
            double ALPHA=(double)0.1/(iter+j+1)+0.1;
            ret+=ALPHA*(dataSet[j].y-sigmoid(param,dataSet[j]))*dataSet[j].feature[i];
        }
        param.w[i]+=ret;
    }
    for(int i=0;i<dataSet.size();i++) ret+=alpha*(dataSet[i].y-sigmoid(param,dataSet[i]));
    */
    //random
    for(int j=;j<dataSet.size();j++)
    {
        double ret=0.0,prob=0.0;
        double ALPHA=(double)0.1/(iter+j+)+0.1;
        for(int k=;k<=K;k++)
        {
            prob=((dataSet[j].y==k?:)-calcProb(k,dataSet[j]));
            for(int i=;i<Dim;i++) parament[k-].w[i]+=ALPHA*prob*dataSet[j].feature[i];
            parament[k-].b+=ALPHA*prob;
        }
    }
}
void classify()
{
    ifstream fin("fullTest.txt");
    double fea;int cls,no=;
    string line;
    while(getline(cin,line))
    {
        stringstream sin(line);
        vector<double> feature;
        while(sin>>fea) feature.push_back(fea);
        cls=feature.back();feature.pop_back();
        int bestClass=-;double bestP=-;
        for(int i=;i<=K;i++)
        {
            double p=calcProb(i,Data(feature,cls));
            if(p>bestP) {bestP=p;bestClass=i;}
        }
        cout<<"Test:"<<++no<<"  origin:"<<cls<<" classify:"<<bestClass<<endl;
    }
}
void mainProcess()
{
    double objLW=calcLW(),newLW;
    int iter=;
    gradient(iter);
    newLW=calcLW();
    while(fabs(newLW-objLW)>delta)
    {
        objLW=newLW;
        gradient(iter);
        newLW=calcLW();
        iter++;
        //if(iter%5==0) cout<<"iter: "<<iter<<"  target value: "<<newLW<<endl;
    }
    cout<<endl<<endl;
}
int main()
{
    read();
    mainProcess();
    classify();
}

Softmax

Part IV  测试

使用Iris鸢尾花数据集：http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Iris，是三类分类问题

该数据集的第三组数据是非线性的，若K=3训练，则因为非线性数据扰乱，错误率很大。

若K=2，则代码等效于Logistic回归，错误率相近。