数论 Note.

1. $ax+by=1 \rightarrow gcd(a,b)=1$

2.如果一个数的后n位能被$2^n$整除，那么这个数能被$2^n$整除。

3.如果一个数的各位数之和能被3，9整除，那么这个数能被3，9整除

4.如果一个数的奇数位与欧数位之差能被11整除，那这歌数能被11整除

5.如果一个数的末三位和末三位之前的数字组成的数的差能被7，11，13整除，那么这个数能被7，11，13整除

6.一个N*M的二维平面，从其中任意一个点经过所有点的回路长度最小为：

当N＊M为偶数时，ans=N*M

当N*M为奇数时，ans=N*M-1+1.414

7.

二元一次不定方程的形式一般为$ax+by=c$

该方程有解当且仅当 gcd(a,b)|c

所以该方程的解一般形式为

\[\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + \frac{b}{{\gcd (a,b)}}t}\\
{y = {y_0} - \frac{a}{{\gcd (a,b)}}t}
\end{array}\]

8.组合数的递推公式：

$C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j]$

$C[i][0]=1$

$C[i][j]=C[i][i-j]$

9.

$\frac{a}{b}mod P=(a mod P)\times b^{P-2}$

$gcd(b,P)=1$ 且$P$为素数

10.

$A=({p_1}^{k_1})*({p_2}^{k_2})*({p_3}^{k_3})*({p_4}^{k_4})*...*({p_c}^{k_c})$

$p_i$均为素数，其因数和$sum$为

$sum=(1+p_1+{p_1}^2+{p_1}^3+{p_1}^4+...+{p_1}^{k_1})*(1+p_2+{p_2}^2+{p_2}^3+{p_2}^4+...+{p_2}^{k_2})*(1+p_3+{p_3}^2+{p_3}^3+{p_3}^4+...+{p_3}^{k_3})*...*(1+p_c+{p_c}^2+{p_c}^3+{p_c}^4+...+{p_c}^{k_c})$

11.$\phi (x)=x \times \prod\limits^{p_i \in Prime}(1- \frac{1}{p_i})$

12.$M=\sum\limits^{d|M}\phi(d)$

13.$ \phi (a \times P)=\phi(a)\times\phi(P)= \phi(a) \times (P-1)$$P$为素数

14.$x^{\phi(M)}\equiv 1(modM)$同时$gcd(M,x)=1$

15.$x^N \equiv x^{N mod \phi(P)} (mod P)$同时$gcd(P,x)==1$

16.乘法逆元

17.对于一个$N \times M$的棋盘，从$(1,1)$走到$(N,M)$的方案数为$C_{x-1+y-1}^{x-1}$