poj 2288 Islands and Bridges_状态压缩dp_哈密尔顿回路问题

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题目描述：哈密尔顿路问题。n个点，每一个点有权值，设哈密尔顿路为 C1C2...Cn，Ci的权值为Vi，一条哈密尔顿路的值分为三部分计算：

1.每一个点的权值之和

2.对于图中的每一条CiCi+1，加上Vi*Vi+1

3.对于路径中的连续三个点：CiCi+1Ci+2，若在图中，三点构成三角形，则要加上Vi*Vi+1*Vi+2

求一条汉密尔顿路可以获得的最大值，并且还要输出有多少条这样的哈密尔顿路。



这道题的状态感觉不是很难想，因为根据一般的哈密尔顿路问题，首先想到的是设计二维状态，dp[i , s]表示当前在i点，走过的点形成状态集合s。但是这道题在求解值的时候有一个不一样的地方，就是第三部分，如果还是设计成二维的状态，就会很麻烦，因为每加入一个新点，要判断新点、当前点、倒数第二个点是否构成三角形，所以要记录倒数第二个点。很自然地想到扩展状态的维数，增加一维，记录倒数第二个点。



1>　　设计状态：

dp[i , j , s]表示当前站在j点，前一个点是i点，形成的状态集合是s，此时的最大值，way[i , j , s]记录当前状态下达到最大值的路径数；

2>　　状态转移：

设k点不在集合s中，且存在边<j , k>

设q为下步到达k点获得的最大值

令r = s + （1<<k），为当前站在点k，前一个点为j，形成状态集合r

若i，j，k形成三角形，则q = dp[i][j][s] + v[k] + v[j]*v[k] + v[i]*v[j]*v[k]

否则，q = dp[i][j][s] + v[k] + v[j]*v[k];

若q大于dp[j][k][r]；则：

dp[j][k][r] = q

way[j][k][r] = way[i][j][s];

若q等于dp[j][k][r]，则：

way[j][k][r] += way[i][j][s];

3>　　初始化：

显然，若i点到j点有边，则： 

dp[i][j][(1<<i)+(1<<j)] = v[i] + v[j] + v[i]*v[j];

way[i][j][(1<<i)+(1<<j)] = 1;

4>　　结果的产生：

最后的结果我们要枚举点i和j，找到最大的dp[i][j][(1<<n)-1]，并且更新记录路径数ansp，最后ansp要除2才是结果，因为题目最后一句话，正向反向是一样的路。

此外，需要注意的是discuss提到的特殊情况，要用__int64，并且注意n等于1时，最大值就是第一个点的权值，路径数为1。

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAXN =13;
const int MAXS =1<<MAXN|1;
#define ll __int64
ll dp[MAXN][MAXN][MAXS],way[MAXN][MAXN][MAXS];
int map[MAXN][MAXN],v[MAXN];
int n,m,s;
void stateDp(){
	int i,j,p,k;
	memset(dp,-1,sizeof(dp));
	memset(way,0,sizeof(way));
	for(i=0;i<n;i++)
		for(j=0;j<n;j++){
			if(map[i][j]){
				dp[i][j][(1<<i)+(1<<j)]=v[i]+v[j]+v[i]*v[j];
				way[i][j][(1<<i)+(1<<j)]=1;
			}
		}
	for(p=3;p<s;p++){
		for(i=0;i<n;i++){
			if(!(p&1<<i))//如果该状态第i城市没有路过就跳过
				continue;
			for(j=0;j<n;j++){
				if(i==j||!(p&1<<j)||dp[i][j][p]==-1)
					continue;
				for(k=0;k<n;k++){
					if(p&1<<k||!map[j][k])//如果k存在该状态则跳过
						continue;
					int r=p+(1<<k);//状态加入k城市
					ll q=dp[i][j][p]+v[k]+v[j]*v[k];//更新价值
					if(map[i][k]){//当构成环时更新价值
						q+=v[i]*v[j]*v[k];
					}
					if(q>dp[j][k][r]){
						dp[j][k][r]=q;
						way[j][k][r]=way[i][j][p];
					}else if(q==dp[j][k][r]){//相等时，有多个相等价值路径
						way[j][k][r]+=way[i][j][p];
					}
				}
			}
		}
	}
}
int main(int argc, char** argv) {

	int t,x,y,i,j;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		memset(map,0,sizeof(map));
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&v[i]);
		for(i=0;i<m;i++){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			map[x-1][y-1]=map[y-1][x-1]=1;
		}
		s=1<<n;
		if(n==1){
			printf("%d %d\n",v[0],1);
			continue;
		}
		stateDp();
		ll ansv=-1,ansp=0;
		for(i=0;i<n;i++)
			for(j=0;j<n;j++){
				if(i==j)continue;
				if(dp[i][j][s-1]>ansv){//s-1为经过所有岛
					ansv=dp[i][j][s-1];
					ansp=way[i][j][s-1];
				}else if(dp[i][j][s-1]==ansv){
					ansp+=way[i][j][s-1];
				}
			}
		printf("%I64d %I64d\n",ansv==-1?0:ansv,ansp/2);
	}
	return 0;
}