【THUSC2017】杜老师

题目描述

杜老师可是要打+∞年World Final的男人，虽然规则不允许，但是可以改啊！

但是今年WF跟THUSC的时间这么近，所以他造了一个idea就扔下不管了……

给定L,R，求从L到R的这R−L+1个数中能选出多少个不同的子集，满足子集中所有的数的乘积是一个完全平方数。特别地，空集也算一种选法，定义其乘积为1。

由于杜老师忙于跟陈老师和鏼老师一起打ACM竞赛，所以，你能帮帮杜老师写写标算吗？

输入格式

从标准输入读入数据。

每个测试点包含多组测试数据。

输入第一行包含一个正整数 T(1≤T≤100)，表示测试数据组数。

接下来T行，第i+1行两个正整数Li,Ri表示第 i 组测试数据的 L,R ，保证1≤Li≤Ri≤107。

输出格式
输出到标准输出。

输出T​行，每行一个非负整数，表示一共可以选出多少个满足条件的子集，答案对998244353​取模。

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$R_{i} \le 1e7$ , $T \le 100$ , $\sum_{i=1}^{T}(R_{i}-L{i}+1) \le 6e7$

• 题解

  • 唯一分解，把每个质数看成一个元，$mod2$意义下高斯消元设自由元个数为$d$
  • 答案就是线性相关的子集数$=2^d$;
  • 暴力$50$
  • 在$L,R$比较大的时候，直接消元会很浪费，考虑剪枝；
  • 如果$[L,R]$中出现了质因子$p$；
  • 一 ，若 $p > \sqrt R$则$p$对应位一定有基；  ->  $p^k>R  \  (k>1)$
  • 二 ，若$ p <= \lfloor \frac{R}{L} \rfloor $ 则$p$对应位一定有基；->  $( B(L) xor  B(L*p) == B(p) )$，说明$p$独立
  • 三， 若$R-L>=6e3$，则$p$对应位一定有基;  ->  ？？？？  如果有人知道为什么的话求教
  • 大于根号的因子只有一个，特判一的；
  • 所以近距离暴力高斯消元，远距离直接计算；
  • $trick$ ：线筛每个数的因子可$logR$分解因数 ，$bitset$优化，同时线性基满了就不再插入；
  • $O(R \ + \  \sum R_{i}-L_{i}  \ + \ T*(\frac{R}{64} + 6e3*log \ R) )$

  •  #include<bits/stdc++.h>
     #define ll long long
     using namespace std;
     const int N=,M=1e7+,mod=;
     int T,L[],R[],n,k,size,pos[N];
     int pt,pr[M],vis[M],v[M],visT[M];
     typedef bitset<> BIT;
     BIT B[],now,pre;
     struct data{
         int x,y;
         bool operator <(const data&A)const{
             return y < A.y;
         }
     }A[N];
     int pw2(int y){
         int re=,x=;
         for(int i=y;i;i>>=,x=(ll)x*x%mod){
             if(i&)re=(ll)re*x%mod;
         }
         return re;
     }
     void get_fac(int x,BIT&y){
         y.reset();
         if(v[x]>k)x/=v[x];
         while(x!=){
             int t=v[x],cnt=;
             while(x%t==&&(x/=t))cnt++;
             if(cnt&)y[pos[t]]=;
         }
     }
     bool ins(BIT&x){
         for(int i=;i<size;i++)if(x[i]){
             if(B[i][i])x^=B[i];
             else return B[i]=x,true;
         }
         return false;
     }
     void solve1(int l,int r){
         int tot=,cnt=,tot2=;
         for(int i=l;i<=r;i++)A[++cnt]=(data){i,v[i]};
         sort(A+,A+cnt+);
         for(int i=;i<size;i++)B[i].reset();
         for(int i=;i<=cnt;i++){
             get_fac(A[i].x,now);
             if(A[i].y<=k){if(tot<size)tot+=ins(now);}
             else if(A[i].y!=A[i-].y){tot2++;pre=now;}
             else {now^=pre;if(tot<size)tot+=ins(now);}
         }
     //    printf("%d %d\n",tot,tot2);
         printf("%d\n",pw2(r-l+-tot-tot2));
     }
     void solve2(int l,int r){
         int tot=;
         for(int i=l;i<=r;i++)if(v[i]>k&&visT[v[i]]!=T){
             visT[v[i]]=T;
             tot++;
         }
         for(int i=;i<=size;i++)if((l-)/pr[i]<r/pr[i]&&visT[pr[i]]!=T){
             visT[pr[i]]=T;
             tot++;
         }
         printf("%d\n",pw2(r-l+-tot));
     }
     int main(){
         freopen("T2.in","r",stdin);
         freopen("T2.out","w",stdout);
         scanf("%d",&T);
         for(int i=;i<=T;i++)scanf("%d%d",&L[i],&R[i]),n=max(n,R[i]);
         k=sqrt(n); v[]=;
         for(int i=;i<=n;i++){
             if(!vis[i]){
                 v[pr[++pt]=i]=i;
                 if(i<=k)size++,pos[i]=pt-;
             }
             for(int j=;j<=pt&&i*pr[j]<=n;j++){
                 vis[i*pr[j]]=;
                 v[i*pr[j]]=v[i];
                 if(i%pr[j]==)break;
             }
         }
         for(int i=;T;i++,T--){
             if(R[i]-L[i]>=)solve2(L[i],R[i]);
             else solve1(L[i],R[i]);
         }
         return ;
     }

    THUSC2017D1T2