【刷题】BZOJ 4816 [Sdoi2017]数字表格

Description

Doris刚刚学习了fibonacci数列。用f[i]表示数列的第i项，那么

f[0]=0

f[1]=1

f[n]=f[n-1]+f[n-2],n>=2

Doris用老师的超级计算机生成了一个n×m的表格，第i行第j列的格子中的数是f[gcd(i,j)]，其中gcd(i,j)表示i,

j的最大公约数。Doris的表格中共有n×m个数，她想知道这些数的乘积是多少。答案对10^9+7取模。

Input

有多组测试数据。

第一个一个数T，表示数据组数。

接下来T行，每行两个数n,m

T<=1000,1<=n,m<=10^6

Output

输出T行，第i行的数是第i组数据的结果

Sample Input

3

2 3

4 5

6 7

Sample Output

1

6

960

Solution

莫比乌斯反演以及作死地推式子，开始：

\[ans=\prod_{i=1}^n\prod_{j=1}^mf[gcd(i,j)]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\]

\[\displaystyle =\prod_{d=1}^nf[d]^{\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}\mu(i)\lfloor \frac{n}{id} \rfloor \lfloor \frac{m}{id} \rfloor}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\]

套路设\(T=id\)

\[ans=\prod_{d=1}^nf[d]^{\sum_{d|T}^n\mu(\frac{T}{d})\lfloor \frac{n}{T} \rfloor\lfloor \frac{m}{T} \rfloor}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\]

\[=\prod_{d=1}^n\prod_{d|T}^nf[d]^{\mu(\frac{T}{d})\lfloor \frac{n}{T} \rfloor\lfloor \frac{m}{T} \rfloor}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\]

\[=\prod_{T=1}^n\prod_{d|T}f[d]^{\mu(\frac{T}{d})\lfloor \frac{n}{T} \rfloor\lfloor \frac{m}{T} \rfloor}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\]

\[=\prod_{T=1}^n(\prod_{d|T}f[d]^{\mu(\frac{T}{d})})^{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor\lfloor \frac{m}{T} \rfloor}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\]

从第二步到第三步，枚举方式之所以能够改变是因为两者的实际意义是一样的。

想一想是为什么。

\(\prod_{d=1}^n\prod_{d|T}^n\)含义是枚举数对\((d,T)\)，保证\(T\)是\(d\)的倍数且\(T\)的值不超过\(n\)

\(\prod_{T=1}^n\prod_{d|T}\)难道不是一样的吗？

回到题目，只要括号里面的东西能求前缀和（前缀积？。。）括号外面的东西显然可以整除分块

那么就考虑括号里面的东西

要考虑吗。。

线性筛筛完后暴力求。。。复杂度\(O(nlnn)\)可以接受

然后？

就做完了

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int MAXN=1000000+10,Mod=1e9+7;
int cnt,prime[MAXN],vis[MAXN],mu[MAXN];
ll g[MAXN],f[MAXN],fn[MAXN],F[MAXN];
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline ll qexp(ll a,ll b)
{
	ll res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)res=res*a%Mod;
		a=a*a%Mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
inline void init()
{
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;
	mu[1]=1;
	g[0]=g[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		g[i]=1;
		if(vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			mu[i]=-1;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j])mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
	f[1]=fn[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%Mod;
		fn[i]=qexp(f[i],Mod-2);
	}
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)
		if(mu[i]!=0)
			for(register int j=i;j<MAXN;j+=i)(g[j]*=(mu[i]==1?f[j/i]:fn[j/i]))%=Mod;
	for(register int i=1;i<MAXN;++i)(g[i]*=g[i-1])%=Mod;
}
inline ll solve(ll n,ll m)
{
	ll res=1;
	if(n>m)std::swap(n,m);
	for(register int i=1;;)
	{
		if(i>n)break;
		int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		(res*=qexp(g[j]*qexp(g[i-1],Mod-2)%Mod,(n/i)*(m/i)%(Mod-1)))%=Mod;
		i=j+1;
	}
	return (res+Mod)%Mod;
}
int main()
{
	init();
	int T;
	read(T);
	while(T--)
	{
		ll n,m;
		read(n);read(m);
		write(solve(n,m),'\n');
	}
	return 0;
}