「BZOJ1095」[ZJOI2007] Hide 捉迷藏

题目描述

Jiajia和Wind是一对恩爱的夫妻，并且他们有很多孩子。某天，Jiajia、Wind和孩子们决定在家里玩捉迷藏游戏。他们的家很大且构造很奇特，由N个屋子和N-1条双向走廊组成，这N-1条走廊的分布使得任意两个屋子都互相可达。

游戏是这样进行的，孩子们负责躲藏，Jiajia负责找，而Wind负责操纵这N个屋子的灯。在起初的时候，所有的灯都没有被打开。每一次，孩子们只会躲藏在没有开灯的房间中，但是为了增加刺激性，孩子们会要求打开某个房间的电灯或者关闭某个房间的电灯。为了评估某一次游戏的复杂性，Jiajia希望知道可能的最远的两个孩子的距离（即最远的两个关灯房间的距离）。

我们将以如下形式定义每一种操作：

• C(hange) i 改变第i个房间的照明状态，若原来打开，则关闭；若原来关闭，则打开。
• G(ame) 开始一次游戏，查询最远的两个关灯房间的距离。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数N，表示房间的个数，房间将被编号为1,2,3…N的整数。

接下来N-1行每行两个整数a, b，表示房间a与房间b之间有一条走廊相连。

接下来一行包含一个整数Q，表示操作次数。接着Q行，每行一个操作，如上文所示。

输出格式：

对于每一个操作Game，输出一个非负整数到hide.out，表示最远的两个关灯房间的距离。若只有一个房间是关着灯的，输出0；若所有房间的灯都开着，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

8
1 2
2 3
3 4
3 5
3 6
6 7
6 8
7
G
C 1
G
C 2
G
C 1
G

输出样例#1：

4
3
3
4

说明

对于20%的数据， N ≤50, M ≤100；

对于60%的数据， N ≤3000, M ≤10000； 对于100%的数据， N ≤100000, M ≤500000。

题解

神仙般的操作……

膜拜岛娘的思路和hzwer的代码……

我们先假设有以上这么一棵树（图丑勿介）

进行先序遍历，得到$[A[B[E][F[H][I]]][C][D[G]]]$

再把所有字母去掉$[ [ [ ] [ [ ] [ ] ] ] [ ] [ [ ] ] ]$

这就是这一棵树的括号编码（本质是dfs得到的）

花了这么大功夫找，但这玩意儿到底有什么用呢？

我们考虑两个节点，E和G

取出他们之间的那段括号编码$] [ [ ] [ ] ] ] [ ] [ [$

再将所有匹配的括号去掉，得到$] ] [ [$

我们看到了两个$]$和两个$[$

再回到树上，我们发现E向上走两步，再向下走两步就到达了G

于是发现括号序列可以很方便地维护点与点之间的距离

能不能进一步优化呢？

我们发现，对于距离而言，匹配的括号是没有任何意义的

而且，由于距离只需要记录数字，所以维护括号也是没有意义的，只要有编码就行，可以用一个二元组$(a,b)$来描述它，表示有a个$]$和b个$[$

所以，如果有两个点P和Q，如果介于P和Q之间的括号编码表示为$(a,b)$，则P和Q在树上的距离就是a+b

是不是很方便啊~\(≧▽≦)/~啦啦啦

但是现在问题又来了，怎么维护编码呢？

如果可以通过左边一半的信息和右边一半的信息，从而得到整段编码的信息，就可以用我们熟悉的线段树来维护了

我们可以进行如下的分析

考虑对于两段括号编码$s1(a,b)$和$s2(c,d)$，他们合并起来可以得到$s(x,y)$

注意到$s1$和$s2$合并起来时会产生$min(b,c)$的匹配括号，合并后他们会被抵消掉

于是

当 $b<c$ 时第一段 [ 就被消完了，两段 $]$ 连在一起，例如：

$]  ]  [  [  +  ]  ]  ]  [  [  =  ]  ]  ]  [  [$

当 $b>=c$ 时第二段 ] 就被消完了，两段 $[ $连在一起，例如：
$]  ]  [  [  [  +  ]  ]  [  [  = ] ]  [  [  [$

于是就得到了几个十分有用的结论

当 $b<c$ 时，$(x,y) = (a-b+c,d)$

当 $b>=c$ 时，$(x,y) = (a,b-c+d)$

于是就可以用线段树维护整棵树的括号编码~\(≧▽≦)/~啦啦啦

题目所要求维护的，是$max\{a+b|s'(a,b)是s的一个子串，且s'位于两黑点之间\}$，我们将这个值表示为$dis(s)$

我们先根据上面的两条结论，得到几个推论

$①x+y=a+d+|b-c|=max((a+b-c+d),(a-b+c+d))$

$②x-y=a-b+c-d$

$③y-x=b-a+d-c$

由①式我们可以发现，要维护$dis(s)$，要维护四个值$a+b,d-c,a-b,d+c$

又为了保证$s'$在两个黑点之间，所以要加上一些限制

于是定义出如下四个参数

$rightplus:max(a+b),s'是s的一个前缀且s紧接在一个黑点之后$
$rightminus:max(a-b),s'是s的一个前缀且s紧接在一个黑点之后$
$leftplus:max(a+b),s'是s的一个后缀且一个黑点紧接在s之后$
$leftminus:max(b-a),s'是s的一个后缀且一个黑点紧接在s之后$

于是我们就可以用左右两半的状态转移到一整段的状态啦

还是考虑$s(x,y),s1(a,b),s2(c,d)$

$(x,y)=b<c?(a-b+c,d):(a,b-c+d)$

$dis(s)=max(dis(s1),dis(s2),rightplus(s1)+leftminus(s2),rightminus(s1)+leftplus(s2))$

（把四个参数的值带入上面的等式很容易发现这是正确的）

然后再来考虑如何求出四个参数呢？

$rightplus(s)=max(rightplus(s1)-c+d,rightminus(s1)+c+d,rightplus(s2))$

$rightminus(s)=max(rightminus(s1)+c-d,rightminus(s2))$

$leftplus(s)=max(leftplus(s2)-b+a,left_minus(s1)+b+a,leftplus(s1))$

$leftminus(s)=max(leftminus(s2)+b-a,leftminus(s1))$

然后就可以用线段树处理整个括号编码了

实际实现的时候还有一些小细节要注意

我们为了实现更方便，最好还是在编码时加入括号

对于底层结点，如果对应字符是一个括号或者一个白点，那 么right_plus、right_minus、left_plus、left_minus、dis 的值就都是 -inf；如果对应字符是一个黑点，那么 right_plus、right_minus、left_plus、left_minus 都是 0，dis 是-inf。

具体细节可以参见代码，注解比较详细（主要是因为自己照着打了一遍也不太看得懂代码……）

 //minamoto
 #include<bits/stdc++.h>
 #define N 100005
 #define inf 0x3f3f3f3f
 using namespace std;
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getchar()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getchar());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 int ver[N<<],Next[N<<],head[N];
 int v[N*],pos[N],c[N];
 int n,q,cnt,tot,black;
 struct seg{
     int l,r,l1,l2,r1,r2,c1,c2,dis;
     void init(int x){
         dis=-inf;
         c1=c2=;
         if(v[x]==-) c2=;
         if(v[x]==-) c1=;
         /*c2为失配左括号，c1为失配右括号
         为左括号，c2=1；为右括号，c1=1*/
         if(v[x]>&&c[v[x]]) l1=l2=r1=r2=;
         else l1=l2=r1=r2=-inf;
         /*为黑点，l_plus,l_minus,r_plus,r_minus全为0
         为白点或括号，全为1*/
     }
 }a[N*];
 inline int max(int a,int b,int c){return max(a,max(b,c));}
 void add(int u,int v){
     ver[++tot]=v,Next[tot]=head[u],head[u]=tot;
     ver[++tot]=u,Next[tot]=head[v],head[v]=tot;
 }
 void dfs(int u,int fa){
     v[++cnt]=-;
     v[++cnt]=u;
     pos[u]=cnt;
     for(int i=head[u];i;i=Next[i])
     if(ver[i]!=fa) dfs(ver[i],u);
     v[++cnt]=-;
     /*进入加左括号，离开加右括号*/
 }
 inline void merge(seg &s,seg s1,seg s2){
     /*r1=max(a+b),r2=max(a-b){s1(a,b)是s前缀且s1紧接在一个黑点之后}
     l1=max(a+b),l2=max(b-a){s2(a,b)是s后缀且s2紧接在一个黑点之前}*/
     int a=s1.c1,b=s1.c2,c=s2.c1,d=s2.c2;
     s.dis=max(s1.dis,s2.dis);
     s.dis=max(s.dis,s1.r1+s2.l2,s1.r2+s2.l1);
     /*s.dis=max(s1.dis,s2.dis,a1+b1-a2+b2,a1-b1+a2+b2)*/
     b<c?(s.c1=a-b+c,s.c2=d):(s.c1=a,s.c2=b-c+d);
     s.r1=max(s2.r1,s1.r1-c+d,s1.r2+c+d);
     /*a+b=max(a1-b1+a2+b2,a1+b1+b2-a2)*/
     s.r2=max(s2.r2,s1.r2+c-d);
     /*a-b=a1-b1+a2-b2*/
     s.l1=max(s1.l1,s2.l1-b+a,s2.l2+b+a);
     /*同上*/
     s.l2=max(s1.l2,s2.l2+b-a);
     /*b-a=b2-a2+b1-a1*/
 }
 void build(int p,int l,int r){
     a[p].l=l,a[p].r=r;
     if(l==r){
         a[p].init(l);
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     build(p<<,l,mid);
     build(p<<|,mid+,r);
     merge(a[p],a[p<<],a[p<<|]);
 }
 void modify(int p,int x){
     int l=a[p].l,r=a[p].r;
     if(l==r){a[p].init(l);return;}
     int mid=(l+r)>>;
     if(x<=mid) modify(p<<,x);
     else modify(p<<|,x);
     merge(a[p],a[p<<],a[p<<|]);
 }
 int main(){
     //freopen("testdata.in","r",stdin);
     black=n=read();
     for(int i=;i<=n;++i) c[i]=;
     for(int i=;i<n;++i){
         int u=read(),v=read();
         add(u,v);
     }
     dfs(,);
     build(,,cnt);
     q=read();
     while(q--){
         char s[];
         scanf("%s",s);
         if(s[]=='C'){
             int x=read();
             if(c[x]) --black;
             else ++black;
             c[x]^=;
             modify(,pos[x]);
         }
         else{
             if(!black) puts("-1");
             else if(black==) puts("");
             else printf("%d\n",a[].dis);
         }
     }
     return ;
 }