[转]MegCup2015初赛题

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门票题：数独有多少种对解线上没有1的填法？
这道“门票题”虽说只是“热身”，但还是有一定难度的。共有245名选手通过各种方法拿到了门票。下面，我们就为大家总结了一下各种解这道题的方法。

Solution 1：暴力搜索！
数独一共只有 6,670,903,752,021,072,936,960种解法。 并且，在考虑对称性之后，只剩下了 5,472,730,538 种“本质不同”的数独解法。（见wikipedia Mathematics_of_Sudoku）。所以，做这题最暴力的方法就是枚举对称意义下的等价类，之后对每个等价类分别计数即可。当然，这只是一种“理论上”可行的做法，实际要真这么做的话，你的机器要足够好哟。为了确保答案的正确性，我们用了一种和这个类似的方法来验证我们的答案。

Solution 2：对称性
很显然的是，对于一种数独的解法，我们只关心它里面1的位置。一个很自然的想法就是，我们算一算数独解法中对角线没有1的“比例”。已知数独有6,670,903,752,021,072,936,960种解法。通过在每个3x9或9x3的“带”内交换行或者列，可以把每666666=46656个解法（带内部置换有3!=6种方法，一共有6个带）分成一组，共有142980618827612160组。不管你是猜的还是证的，你会发现，每一组内对角线不含1的比例都是一样的！这样，我们只需要任取一个解，通过置换生成它组内的46656个解法，检验一下对角线不含1的比例就行了。如何任取一个解呢？看看海报，上面就印着字典序意最小的那个解。这样算出的答案是：
6670903752021072936960 43/486 = 590223994520382996480

Solution 3：手算！
当然，如果你是用这种方法来做这题的，那么你应该不用来看这份题解了。不过，我们真的亲眼目睹过一位同学在草稿纸上用15分钟就算出来了！这么解的精髓就是充分利用对角线图案本身的对称性，使用容斥原理把问题分成几种情况来讨论。具体的方法我们就不剧透了，想挑战自我的同学自行体会一下吧：-）
这一次可以提示一下，仔细观察数独格子交点，还能找到别的做法，