一直在读《陶哲轩实分析》，陶的书非常的严谨，环环相扣，但是也有个缺点就是计算性的例子和应用方面的例子太少了。所以就又找了本柯朗的《微积分与数学分析》搭配着看。柯朗的书的习题与陶的风格完全不同，里面有大量的考察技巧性的习题，有些题相当有难度，第一卷又没有提供习题答案。我试着解了一小部分习题，放到这里，供有需要的同学参考。能力有限，有些题确实搞不定，有些题给的答案可能是错的。所以仅供参考。

柯朗微积分与数学分析习题选解(1.2 节 d)

第 3 题

反证法: 假设在[0,1] 区间内,存在另外一点 x0 满足 f(x)=A≠1/2, 我们不妨设 A<1/2.

那么存在一个无理数 B 满足 A<B<1/2

由于 f(x) 在 [0,x0] 上是连续的,所以必然存在一个点 0≤x1≤x0 满足 f(x1)=B

这与f(x) 只取有理数值矛盾.所以 f(x)≡1/2

第 4 题

(a)

当 x0 是有理数时,取 ε=0.5 我们知道 x0 的任意小的临域内都存在至少一个无理数 x 使得 f(x)=0,所以 |f(x)−f(x0)|=1>0.5.

当 x0 是无理数时,取 ε=0.5 我们知道 x0 的任意小的临域内都存在至少一个有理数 x 使得 f(x)=1,所以 |f(x)−f(x0)|=1>0.5.

(b)

当 x0 是有理数时, x0=p/q,取 ε=12q, 我们知道 x0 的任意小的临域内都存在至少一个无理数 x 使得 f(x)=0,所以 |f(x)−f(x0)|=1q>12q. 所以在 x 取有理数的点上是不连续的.

当 x0 是无理数时, f(x)=0 ,对于任意小的 ε>0 我们都可以找到一个足够大的自然数 m满足 ε>1m.

我们定义 an 为距离x0 最近的分母为 n 的有理数, 并定义 bn=|an−x0| .

我们取 δ=min(b1,b2,…,bm).

那么当 |x−x0|<δ 时,在这个邻域内不存在分母小于m 的有理数,所以

|f(x)−f(x0)|<1m<ε

所以在 x 取无理数的点上是连续的.

第 5 题

f(x+y)=f(x)+f(y)

所以

f(0)=f(0)+f(0)=0f(−x)=−f(x)f(n)=nf(1)

所以

f(pq)=1qf(p)=pqf(1)

所以对于 x 的有理值，f(x)=xf(1)

如果 f(x) 是连续的。那么当 x 是有理数时，自然有 f(x)=xf(1)

当 x是无理数时，这时存在一个有理数序列 {xn} 满足 limn→∞xn=x

因为f(x) 是连续的，那么

f(x)=limn→∞f(xn)=limn→∞xnf(1)=xf(1)

所以 f(x)=cx

第 6 题

(a) 如果 f(x)=xn, 试求 δ 使得 |x−ξ|<δ 时满足: |f(x)−f(ξ)|<ε

当 |x−ξ|<1 时,有 |x|<|ξ|+1, 所以有

|f(x)−f(ξ)|==<|xn−ξn||x−ξ||xn−1+xn−2ξ+xn−3ξ2+⋯+xξn−2+ξn−1|n|x−ξ|(|ξ|+1)n−1

所以对于任意小的 ε>0 只要取

δ=min(1,εn(|ξ|+1)n−1)

那么当|x−ξ|≤δ 时,有 |f(x)−f(ξ)|<ε

(b) 如果 f(x) 是任意多项式:

f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0

其中 an≠0, 试求 δ 使得 |x−ξ|<δ 时满足: |f(x)−f(ξ)|<ε

当 |x−ξ|<1 时,有 |x|<|ξ|+1, 设 A=max(|an|,|an−1|,…,|a1|)所以有

|f(x)−f(ξ)|=<<|an(xn−ξn)+an−1(xn−1−ξn−1)+⋯+a1(x−ξ)||x−ξ|(|an(|ξ|+1)n−1n|+|an−1(|ξ|+1)n−2(n−1)|+⋯+|a1(|ξ|+1)|)|x−ξ|n2(|ξ|+1)n−1A

所以对于任意小的 ε>0 只要取

δ=min(1,εAn2(|ξ|+1)n−1)

那么当|x−ξ|≤δ 时,有 |f(x)−f(ξ)|<ε