P2766 最长不下降子序列问题 题解（网络流）

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最长不下降子序列问题

解题思路

分成三小问解决。

第一小问，求\(LIS\)，因为\(n<=500\)，直接\(O(N^2)\)暴力求解即可。

第二三小问，建立模型用网络流求解。

对于第二小问

\((1)\)首先，因为每个点只能使用一次，考虑拆点，把每一个点拆成\(i，n+i\)两个点，从\(i\)连向\(n+i\)一条长度为\(1\)的有向边。

\((2)\)其次，因为流向是从S经集合E到T，其中任意集合E中元素\(i\)需要满足的条件是\(i\)位于LIS上，故：

①出边从\(lis[i]=k\)的点流向T

②所有的能构成E的边都需要加入，也就是任意\(i,j\)满足\(i<j，a[i]<a[j]，lis[i]=lis[j]-1\)都从\(i\)到\(j\)连边。

跑一遍最大流即可。

第三小问唯一的不同就是\(S\)流向\(1\)，\(1\)流向\(1+n\)，\(n\)流向\(n+n\)，\(n+n\)流向\(T\)四条路长度变成\(inf\)而已，改后再跑一遍最大流即可。

AC代码

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int lis[1020],a[1020],len;//lis
int s,t,inf=0x3fffffff;//ek
struct Edge{
	int end,length,near;
}edge[50020];
int head[1020],cnt=2,vis[1020];
void addedge(int begin,int end,int length){
	edge[cnt].end=end;
	edge[cnt].length=length;
	edge[cnt].near=head[begin];
	head[begin]=cnt;
	cnt++;
}
struct Pre{
	int pre,ednum;
}pre[1020];
int bfs(){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	int queue[50010]={0},headq=0,tail=0,i;
	queue[tail++]=s;
	vis[s]=1;
	while(headq<tail){
		int v=queue[headq];
		for(i=head[v];i;i=edge[i].near){
			int p=edge[i].end;
			if(vis[p]||!edge[i].length)continue;
			vis[p]=1;
			pre[p].pre=v;
			pre[p].ednum=i;
			queue[tail++]=p;
			if(p==t)return 1;
		}
		headq++;
	}
	return 0;
}
int ek(){
	int min,ans=0,i;
	while(bfs()){
		min=inf;
		for(i=t;i!=s;i=pre[i].pre){
			int en=pre[i].ednum;
			if(min>edge[en].length)min=edge[en].length;
		}
		for(i=t;i!=s;i=pre[i].pre){
			int en=pre[i].ednum;
			edge[en].length-=min;
			edge[en^1].length+=min;
		}
		ans+=min;
	}
	return ans;
}
int main(){
	int i,j,n;
	scanf("%d",&n);
	s=2*n+3;
	t=2*n+4;
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		lis[i]=1;
	}
	//lis n<=500 O(N2)
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<i;j++)
			if(a[i]>=a[j]&&lis[i]<lis[j]+1)lis[i]=lis[j]+1;
	for(i=1;i<=n;i++)if(lis[i]>len)len=lis[i];
	printf("%d\n",len);
	//ek1 建图求最大流
	for(i=1;i<=n;i++){
		addedge(i,i+n,1);//拆点
		addedge(i+n,i,0);
		if(lis[i]==1){
			addedge(s,i,1);
			addedge(i,s,0);
		}
		if(lis[i]==len){
			addedge(i+n,t,1);
			addedge(t,i+n,0);
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<i;j++){
			if(lis[i]==lis[j]+1&&a[i]>=a[j]){
				addedge(j+n,i,1);	addedge(i,j+n,0);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",ek());
	//ek2
	memset(pre,0,sizeof(pre));
	memset(edge,0,sizeof(edge));
	memset(head,0,sizeof(head));
	cnt=2;
	for(i=1;i<=n;i++){
		addedge(i,i+n,1);//拆点
		addedge(i+n,i,0);
		if(lis[i]==1){
			addedge(s,i,1);
			addedge(i,s,0);
		}
		if(lis[i]==len){
			addedge(i+n,t,1);
			addedge(t,i+n,0);
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<i;j++){
			if(lis[i]==lis[j]+1&&a[i]>=a[j]){
				addedge(j+n,i,1);	addedge(i,j+n,0);
			}
		}
	}
	addedge(1,1+n,inf);	addedge(1+n,1,0);
	addedge(s,1,inf); 	addedge(1,s,0);
	if(lis[n]==len){
		addedge(n,n+n,inf);		addedge(n+n,n,0);
		addedge(n+n,t,inf);		addedge(t,n+n,0);
	}
	printf("%d\n",ek());
	return 0;
}