Codeforces Round #573 (Div. 1) 差F

Codeforces Round #573 (Div. 1)

E

题意：二维平面上有 n 个点，你可以放至多 m 条直线使得 (0,0) 与每个点的连线至少与一条直线相交。求原点与所有直线的距离最小值最大是多少。 \(n,m \le 2*10^5,-10^5\le x_i, y_i \le 10^5\)

key：二分，贪心

二分答案，此时可以以原点画圆，那么每条直线都可以与该圆相切。每个点与该圆的两切点形成一个区间。问题变成对于 n 个环形区间，用至多 m 个点去覆盖使得每个区间都被覆盖，问是否可行。

考虑序列：经典问题。首先要把包含关系去掉，之后按左端点排序，每次贪心地选右端点，直到该区间没有被覆盖时选下一个点。

去掉包含关系：先按左端点排序，相等则按右端点。此时倒着扫，按右端点严格递减的顺序选择区间。此时的包含关系只有可能是左端点相同，但这并不影响贪心策略的正确性。

回到原题。首先看如何处理环形区间：储存时要保证左端点<右端点（越界不管），然后复制二倍，然后去除包含关系。之后再把每个区间的第一份拿出来，再复制二倍。

之后可以用双指针贪心地找到：如果选择了当前区间的右端点，那么下一个没有被覆盖的区间的标号。

用倍增可以得到后 \(2^k\) 个区间的标号。

然后枚举左端点，考虑以它为开头跳 m 步是否覆盖完即可。总复杂度 \(O(Dn \log m)\) ，D是二分次数。