GCD-Euclidean Algorithm

求解两个正整数的最大公约数(Greatest Common Devisor)，可以采用循环进行遍历，不过效率很低。所以引入欧几里得算法(Euclid's algorithm)。

欧几里得算法基于GCD递归引理：

对任意非负整数a和任意正整数b，

gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

可以直接写出递归程序：

int GCD(int a, int b)
{
	if(0 == b)
		return a;
	else
		return GCD(b, a % b);
}

• 复杂度分析
  
  运行时间与递归调用的次数成正比。

时间复杂度\(O(lg b)\)，最坏情况下计算次数\(N\le 5log_{10}b\)。

证明：欧几里得算法

• 扩展欧几里得算法
  
  可以计算出满足下式的三元组\((d,x,y)\)：

\[d = GCD(a, b) = ax + by
\]

int Euclid_extend(int a, int b, int* x, int* y)
{
	if(0 == b)
	{
		*x = 1;
		*y = 0;
		return a;
	}
	else
	{
		int r = Euclid_extend(b,a%b,x,y);
		int temp = *x;
		*x = *y;
		*y = temp - (*y)*(a/b);
		return r;
	}
}

简单证明：

\(b=0\)是递归基，易得一组解\(x=1,y=0\);

\(b \neq0\)时：

首先递归求解：

\[d'=gcd(b,a\%b)=bx'+(a\%b)y' \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)
\]

我们知道：

\[d=gcd(a,b)=d'=gcd(b,a\%b)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)
\]

\[a\%b=a-b*\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)
\]

将(2)(3)式带入(1)：

\[d=bx'+(a-b\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor)y'=ay'+b(x'-\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor y')
\]

所以，令\(x=y'\)、\(y=x'-\biggl\lfloor a/b \biggr\rfloor y'\)，就可以满足\(d=ax+by\)。