【题解】P2602 数字计数

P2602 [ZJOI2010]数字计数

题目描述

给定两个正整数 $a$ 和 $b$ ，求在 $[a,b]$ 中的所有整数中，每个数码(digit)各出现了多少次。

输入格式

输入文件中仅包含一行两个整数$a,b$，含义如上所述。

输出格式

输出文件中包含一行 $10$ 个整数，分别表示 $0-9$ 在 $[a,b]$ 中出现了多少次。

说明/提示

$30\%$的数据中，$a<=b<=10^6$；

$100\%$的数据中，$a<=b<=10^{12}$。

Solution

此题解仅讲想法，不讲有关数位 $dp$的基础知识或写法，如果还没有学过数位 $dp$ 的可以先看别的题目

看到题解里用 $dfs$ 做的都是设的两维或以上的状态，实际上这道题只需要一维状态就够了

设目前已经填到了第 $pos$ 位，则不管 $num\ -\!-\ \ pos + 1$ 位上填的是什么，之后的 $1\ -\!-\ pos$位上的贡献是不变的（除非是已经到了 $limit$ 的限制了，这个之后再讨论）

那么状态很明显为 $f[pos]$

$eg:$现在要填五位的数，目前状态为 $12XXX$， $limit$ 为 $30000$，则后面的三位可以直接由 $f[3]$ 转移过来，因为这属于子结构，不对前面造成影响

为什么可以这样转移？

前面所填的数（类似于 $eg$ 中的 $12XXX$ 的 $12$）的贡献如何计算？

我们可以发现，对于 $12XXX$ 中第四位上的 $2$ 的贡献，是 $10^{pos - 1}$ 的。因为 $12XXX$ 的后三位可以填 $000$ - $999$ 中的任意一种，则第四位的 $2$ 就被计算了 $10^3$ 次，即贡献就是 $10^{pos - 1}$。注意：这里所讨论的 $2$ 的贡献值，仅考虑第四位上的 $2$ ，对于后面位置上的为子结构，在之后会考虑到，而前面位置上的，在之前已经预先考虑过了，所以不会重复也不会漏情况。

现在再来讨论 $limit$ 的限制情况。

假设将 $eg$ 中的 $limit$ 改为 $12300$，则填后三位时就只能填 $000$ - $300$，总共是 $12300 - 12000 + 1$ 种，于是只用在计算贡献时加这样一个判断就可以了。

Code

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define F(i, x, y) for(int i = x; i <= y; ++ i)

using namespace std;

const int N = 15;

ll L, R;

int cnt[N];

ll f[N];

ll add(int pos)//计算lim限制时的贡献

{

    ll ans = 0;

    for(int i = pos - 1; i >= 1; -- i) ans = ans * 10 + cnt[i];

    return ans + 1;

}

ll dp(int pos, int x, int lim, int last)

{/* pos为第几位  x为现在在算的数码

	lim为是否为限制 last为上一次的值（处理前导零）*/

    if(! pos) return 0;

    if(! lim && f[pos] != -1 && last != 10) return f[pos];

    ll ret = 0;

    F(i, (last == 10 ? 1 : 0), (lim ? cnt[pos] : 9))

    {

        if(i == x && (i != cnt[pos] || ! lim)) ret += pow(10, pos - 1);

        else if(i == x) ret += add(pos);//分情况计算贡献

        ret += dp(pos - 1, x, lim && i == cnt[pos], i);

    }

    if(last == 10) ret += dp(pos - 1, x, 0, last);

    if(! lim) f[pos] = ret;

    return ret;

}

ll work(int x, ll r)

{

    memset(f, -1, sizeof(f));

    int num = 0;

    for(r; r; r /= 10) cnt[++ num] = r % 10;

    return dp(num, x, 1, 10);

}

int main()

{

    cin >> L >> R;

    F(i, 0, 9) printf("%lld ", work(i, R) - work(i, L - 1));

    printf("\n");

    return 0;

}

Thanks

如果有任何疑问欢迎提出或和我一起讨论(′▽`〃)