题解 [51nod1607] 卷积和

题面

解析

神仙LZF随机找出的毒瘤题.

一开始读题过于草率导致\(naive\)了.

step 1

看上去特别像数位DP(实际上也有一点).

先预处理出有\(i\)位的数(最高位不为\(0\))的数的变换值的和\(f[i]\),

它可以通过一段数前后各拼上一个数得到(也就是通过\(f[i-2]\)转化).

再设\(g[i]\)表示最高位可以为\(0\)的和,

那么\(f[i]=(g[i-2]*90+90*45*jc[i-2])\),

$g[i]=g[i-2]100+9045*jc[i-2] $,

(其中\(jc[i]\)代表\(10^i\)不要问为什么叫这个名字)

这里解释一下,

首先中间的一段在前后的0~9每个数字都加了一次,

所以一共加了100次,但由于\(f\)的最高位不为0所以是90次.

然后当前后的数字固定后中间的每个排列都要算上所以要乘上\(10^i\),

最后前后两端的数的和就是\(\sum_{i=0}^{9}\sum_{j=0}^{9}i*j+j*i\),

也就是\(45*45*2\).

step 2

我们可以把题目转化为求\(\sum_{i=1}^{i=r}f[i]-\sum_{i=1}^{i=l-1}f[i],\)

用前缀和的方式把问题分成两个相同的部分.

我们设那一整块为\(find(x)\),

设\(x\)有\(l\)位,

那前面的\(l-1\)位的数就直接预处理出来了:\(\sum_{i=1}^{l-1}f[i]\).

关键就在于处理\(l\)位的数.

这里我们拿\(56789\)举个例子,

预处理的话就到了\(9999\),

然后枚举每一位的数,

设第\(i\)位的数为\(a[i]\)(从低位到高位依次为1~\(l\)).

那么从0(最高位是1)到\(a[i]-1\)时,后面的数都可以随便取,

在例子里面就分别可以到\(49999,5999,699,89,8\).

然后我们就发现再加上它本身就把所有情况找齐了!

于是我们对每一位进行统计就行了.

step 3

现在我们来考虑怎么统计.

假设我们现在在统计第\(p\)位,

枚举每一位\(j\),以及它对应的\(k=l-j+1\).

那么对于\(j(k)\),它们有三种情况:大于\(p\),等于\(p\),小于\(p\).

当大于\(p\)时,它能贡献的就只有它那位上的数字,

其它的要么不能贡献要么在前面已经统计过了.

但是它贡献了0~\(a[p]-1\)次.

当等于\(p\)时,它就贡献了1~\(a[p]-1\)每个一次.

当小于\(p\)时,它就可以取0~9.

**注意,因为\(p\)后面的数可以随便取,所以还要在每次计算后面乘上\(10^t\),\(t\)取决于\(j,k\)的位置.

大概就这么多了...(具体的分类写在代码里了).

code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define ll long long
#define fre(x) freopen(x".in","r",stdin),freopen(x".out","w",stdout)
using namespace std;

inline ll read(){
	ll sum=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9' || ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return f*sum;
}

const int N=101;
const int Mod=1000000007;
ll l,r;
ll f[N],g[N],a[N],jc[N];

inline ll find(ll x){
	int len=0;ll ret=0;
	for(;x;x/=10) a[++len]=x%10;
	for(int i=1;i<len;i++) ret=(ret+f[i])%Mod;
	for(int p=len;p;p--){
		int nm=p-1,st=p==len? 1:0;//最高位不能为0
		int tmp=0,tem=0,tt=a[p]-st;
		for(int i=st;i<a[p];i++) tem+=i,tmp+=i*i;
		//这里说一下因为长度可能为单数,所以有自己乘自己的情况,所以有tmp
		for(int j=len;j;j--){
			int k=len-j+1;
			if(j>p){
				if(k>p) ret=(ret+a[j]*a[k]*jc[nm]*tt)%Mod;//都大于p贡献了a[p]-st次
				else if(k==p) ret=(ret+a[j]*tem*jc[nm])%Mod;//等于p贡献了st~a[p]每个一次
				else ret=(ret+a[j]*45*jc[nm-1]*tt)%Mod;//因为k已经随便取了所以只有nm-1个数了
			}
			else if(j==p){
				if(k>p) ret=(ret+tem*a[k]*jc[nm])%Mod;
				else if(k==p) ret=(ret+tmp*jc[nm])%Mod;
				else ret=(ret+tem*45*jc[nm-1])%Mod;
			}
			else{
				if(k>p) ret=(ret+a[k]*45*jc[nm-1]*tt)%Mod;
				else if(k==p) ret=(ret+45*tem*jc[nm-1])%Mod;
				else{
					if(k==j) ret=(ret+285*jc[nm-1]*tt)%Mod;//自己乘自己
					else ret=(ret+45*45*jc[nm-2]*tt)%Mod;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=len;i++) ret=(ret+a[i]*a[len-i+1])%Mod;
	return ret;
}

signed main(){
	l=read();r=read();
	f[1]=g[1]=285;jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=19;i++) jc[i]=jc[i-1]*10%Mod;
	for(int i=2;i<=19;i++){
		f[i]=(g[i-2]*90%Mod+90*45*jc[i-2]%Mod)%Mod;
		g[i]=(g[i-2]*100%Mod+90*45*jc[i-2]%Mod)%Mod;
	}
	printf("%lld\n",(find(r)-find(l-1)+Mod)%Mod);
	return 0;
}