codeforces1209E2 状压dp，枚举子集

题意

给一个n行m列的矩阵，每一列可以循环移位，问经过任意次移位后每一行的最大值总和最大为多少。

分析

每一行的最大值之和最大，可以理解为每一行任意选择一个数使它们的和最大。

设\(dp[i][S]\)为前i列，已经确定值的行集合为S时，和的最大值。答案为\(dp[m][(1<<n)-1]\),

设\(f[i][S]\)为第i列循环位移任意次后选择元素所在行构成的集合为S的最大值，可以预处理出。

枚举第i+1列循环位移的次数和第i+1列选择哪些元素(枚举子集)计入答案来转移。

转移方程为\(dp[i][S]=max(dp[i-1][S']+f[i][S-S'],dp[i][S]),S'为S的子集\)。

复杂度为\(O(T*m*(2^n*n^2+3^n))\),显然过不了，实际上我们只需要考虑每列最大值最大的前n列，因为选择其他列不如替换成这n列中还没用的列。这样复杂度就能降到\(O(T*n*(2^n*n^2+3^n))\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define lson l,mid,p<<1
#define rson mid+1,r,p<<1|1
#define ll long long
using namespace std;
const int inf=1e9;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=1e5+10;
int t,n,m,a[15][2010],dp[15][1<<13],r[2010],b[2010],f[15][1<<13];
int cmp(int x,int y){
	return r[x]>r[y];
}
int main(){
	//ios::sync_with_stdio(false);
	//freopen("in","r",stdin);
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<m;i++) r[i]=0,b[i]=i;
		for(int i=0;i<n;i++){
			for(int j=0;j<m;j++){
				scanf("%d",&a[i][j]);
				r[j]=max(r[j],a[i][j]);
			}
		}
		sort(b,b+m,cmp);
		m=min(n,m);
		for(int i=0;i<m;++i){
			for(int j=0;j<(1<<n);++j){
			    int u=0;
				for(int k=0;k<n;++k){
                    int ret=0;
					for(int l=0;l<n;++l) if((j>>l)&1) ret+=a[(l+k)%n][b[i]];
					u=max(u,ret);
				}
				f[i][j]=dp[i][j]=u;
				if(i==0) continue;
				for(int k=j;k;k=(k-1)&j) dp[i][j]=max(dp[i-1][k]+f[i][j-k],dp[i][j]);
			}
		}
		printf("%d\n",dp[m-1][(1<<n)-1]);
	}
	return 0;
}