题意

给一个\(n\),计算

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i + j, i - j) = 1]
\]

题解

令\(a = i - j\)

要求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}[gcd(i + j, i - j) = 1]
\]

即求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{a=1}^{i-1}[gcd(2*i - a, a) = 1]
\]

根据\(gcd\)的性质,即

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{a=1}^{i-1}[gcd(2*i, a) = 1]
\]

所以要求的就是\(1\)到\(i-1\)中,与\(2*i\)互质的数的个数。

令\(sum[i]\)为\(i\)的欧拉函数\(\phi\)的前缀和。结论是,对于奇数,答案就是\(sum[i]/2\),对于偶数,答案是\(sum[i]\)。

与\(2*i\)互质的数的个数,和\(\phi(i)\)(与\(i\)互质的数的个数)有什么关系呢?

如果\(i\)是奇数,那么\(1\)到\(i-1\)中与\(i\)互质的所有数中的奇数,都与\(2*i\)互质。而且这些数中,奇数占一半(为什么?因为对于任何一个奇数,小于它的和它互质的数,是以\(k\)和\(n-k\)的形式成对出现的。这两个数必然一奇一偶)。

如果\(i\)是偶数,那么\(1\)到\(i-1\)中与\(i\)互质的所有数,都与\(2*i\)互质。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include <iostream> #define FOPI freopen("in.txt", "r", stdin)
#define FOPO freopen("out.txt", "w", stdout) using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e7 + 5; int phi[maxn], prime[maxn];
LL sum[maxn];
int tot = 0; void getPhi(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i++) phi[i] = 0;
phi[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!prime[i])
{
prime[++tot] = i;
phi[i] = i-1;
}
for (int j = 1; j <= tot; j++)
{
if (i*prime[j] > n) break;
prime[i*prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
{
phi[i*prime[j]] = prime[j] * phi[i];
break;
}
else phi[i*prime[j]] = (prime[j]-1)*phi[i];
}
}
} void init(int n)
{
getPhi(n); for (int i = 1; i <= n; i++)
if (i % 2 == 1)
sum[i] = sum[i-1] + phi[i] / 2;
else
sum[i] = sum[i-1] + phi[i];
} int t, n;
int main()
{
init(2e7);
scanf("%d", &t);
for (int ca = 1; ca <= t; ca++)
{
scanf("%d", &n);
printf("%lld\n", sum[n]);
}
}

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