【数据结构与算法】Fibonacci Sequence

学计算机的对 Fibonacci 都并不陌生，在课堂上一讲到递归几乎都会提到 Fibonacci 数列。不久前，我对 Fibonacci 产生了一些兴趣，就在这里把自己的想法给记录下来。

递推公式：

=3 \end{matrix}\right." class="mathcode" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cinline%20f%28n%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%201%20%26%20n%3D1%20%5C%5C%201%20%26%20n%3D1%20%5C%5C%20f%28n-1%29+f%28n-2%29%20%26%20n%3E%3D3%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.">

通项公式：

我们还是以最原始的兔子问题为例子：

第一个月有一对兔子，兔子呢按照这种规律生长：当一对兔子两个月成熟后，以后每个月就会出生一对兔子。而且兔子不会死亡。

为了方便区分，我们分别用一个符号来指代兔子的年龄：口 --> 0月，日 --> 1月，目 --> 2月。f(n)代表第 n 月。

f(n)	f(1)	f(2)	f(3)	f(4)	f(5)	f(6)	f(7)	f(8)	f(9)	...
口	1	0	1	1	2	3	5	8	13	...
日	0	1	0	1	1	2	3	5	8	...
目	0	0	1	1	2	3	5	8	13	...

由以上表格可以得出：

• 除去一月每一个的口和目的数量是相等的。
• 每一个月的目来自于上一个月的日和目的和。
• 每一个月的日来自于上一个月的口。

则有：

f(n)=口(n)+日(n)+目(n)

=2*(日(n-1)+目(n-1))+口(n-1)

=f(n-1)+日(n-1)+目(n-1)

=f(n-1)+口(n-2)++日(n-2)+目(n-2)

=f(n-1)+f(n-2)

当然使用数学归纳法证明会更加方便。

像生活中的有些问题都可以用 Fibonacci 数列解决，例如：爬楼梯

我们爬楼梯一般都是走一个阶梯或者是跨两个阶梯。

那我现在要问了：如果有n层阶梯，想在依照上面的走法，请问有多少种不同的方法，可以刚好到达顶层呢？

首先分析简单情况：

阶梯数	1	2	3	4	5	6
	1	11	111	1111	11111	111111
		2	21	211	2111	21111
			12	121	1211	12111
				112	1121	11211
				22	1112	11121
					221	11112
					212	1122
					122	2211
						1221
						2112
						1212
						2121
总和	1	2	3	5	8	13

怎么样下面的数列是不是有点熟悉如果在前面加个1，则为：1，1，2，3，5，8，13。。。

或者可以这样理解它们相邻的差刚好为1，1，2，3，5，8，13。。。

又或者可以看成：前一个数的两倍减去后一个数就成为以零开头的 Fibonacci 数列：0，1，1，2，3，5，13。。。

• 2=1*2-0
• 3=2*2-1
• 5=3*2-1
• 8=5*2-2
• 13=8*2-3
• 21=13*2-5

反正不管是什么样的规律都会相似于 Fibonacci 数列。或许这仅仅只是个数学巧合吧，具体我也没深究，只是发现了这一规律。