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PageRank

• 该网络的 邻接矩阵 通过变换可以变成 概率转移 矩阵
  
  设该转移矩阵为M，最终每个节点的重要性向量为r，则有了一个状态转移方程\(M \cdot r = r\)，（虽然严格意义上，应该写作 \(M \cdot r^{n} = r^{n+1}\)，即一个标准的Markov过程）
• 在随机过程中可以证明，马尔可夫概率转移矩阵的最大特征值为1， 每个节点的最终重要性向量就是 特征值为1对应的特征向量。

收敛性证明：（其实就是Markov过程收敛的条件）

设Markov过程为 \(P_{n+1} = A P_{n}\)

• A 为随机矩阵（A矩阵所有元素大于等于0， 并且每一列的元素和都为1）
• A 为不可约的（当图是强连通时，A为不可约）
• A 为非周期的
  
  该过程收敛，且与初始值无关。

PageRank中涉及矩阵乘法的Power Iteration, 大矩阵可以分到多个服务器上计算，小矩阵可以快速幂

死角

图中很可能存在 dead end， 或者 trip，flow 只进不出，在这种时候需要引入一个 \(\beta\) , 使得 flow 有 \(1 - \beta\) 的概率随机出现在任何一个节点上；有 \(\beta\) 的概率正常流动。

又是想去学随机过程的一天555