二叉搜索树TREE（线段树，区间DP）

前言

线段树+区间DP题，线段树却不是优化DP的，是不是很意外？

题面

二叉搜索树是一种二叉树，每个节点都有一个权值，并且一个点的权值比其左子树里的点权值都大，比起右子树里的点权值都小。

一种朴素的向二叉搜索树中插入节点的算法是，将新节点作为一个新的叶子节点插入树中，维持二叉搜索树的性质，并且不移动原有的节点。

现在有一个长度为

n

n

n 的排列

a

a

a，你可以任意重排第

l

l

l 到第

r

r

r 个数，但不移动其余数。接下来依次从

1

1

1 到

n

n

n 将

a

i

a_i

ai​ 作为新节点的权值插入一棵本来为空的二叉搜索树。试问得到的二叉搜索树所有节点的深度和最小是多少？（假定根节点的深度为

1

1

1）。

输入

第一行一个数

n

n

n ，（

1

≤

n

≤

1

0

5

1\leq n\leq 10^5

1≤n≤105）。
接下来一行一个排列

a

a

a 。
最后一行两个数

l

l

l,

r

r

r，（

1

≤

r

−

l

+

1

≤

200

1\leq r-l+1\leq 200

1≤r−l+1≤200）。

输出

一行一个答案。

题解

所有节点的深度和，等于所有子树大小之和。这样想

l

∼

r

l\sim r

l∼r 以内的变动就不会影响

r

r

r 后面的点了。

我们再分析往二叉搜索树中添加节点的过程，新点要成为叶子，并且在原数列的正确位置。假设当前数

x

x

x 的前一个数为

L

L

L ，后一个为

R

R

R ，我们会发现

L

+

1

∼

R

−

1

L+1\sim R-1

L+1∼R−1 以内的数都一定在

x

x

x 的子树中了，而且只有这些数在

x

x

x 的子树中。后者很好理解，前者是因为，该范围内除了

x

x

x 以外的数都比

x

x

x 晚成为叶子，因此若成为了

L

L

L 或

R

R

R 的后代便会矛盾。

所以，加点操作可以转化为：在一个数轴对应位置上加一个点，记前一个点位置为

L

L

L ，后一个点位置为

R

R

R ，对答案贡献

R

−

L

−

1

R-L-1

R−L−1 ，维护前后位置是经典的线段树操作了，当然也可以直接用 set ，快捷得多。

我们考虑

1

∼

R

1\sim R

1∼R 加完后的序列，如果

L

∼

R

L\sim R

L∼R 的点此时两两不相邻，那我们就没得变了，答案都是确定的了，因为每个点的贡献都取决于

1

∼

L

−

1

1\sim L-1

1∼L−1 的点了。但是，如果存在相邻的一段（

L

∼

R

L\sim R

L∼R 的点），我们就有的选了，可以通过安排这些点的加入顺序来改变贡献。假设有相邻的一段

m

m

m 个点，分割出

m

+

1

m+1

m+1 个线段，我们的操作就是每次把相邻的两条线段合并成一条线段，并算上这条线段的长度作为贡献，直到最后只有一条线段。

是不是很像合并果子？但是不一样，我们只能对相邻的果子进行操作。于是只能用区间 DP，这就是数据范围

r

−

l

+

1

≤

200

r-l+1\leq200

r−l+1≤200 的作用，时间复杂度

O

(

l

e

n

g

t

h

3

)

O({\rm length}^3)

O(length3) 能过。我们需要对形成的每段连续点分别进行区间 DP 。

总时间复杂度

O

(

n

log

⁡

n

+

(

r

−

l

+

1

)

3

)

O(n\log n+(r-l+1)^3)

O(nlogn+(r−l+1)3) 。

CODE

#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<bitset>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define LL long long
#define DB double
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) (-(x) & (x))
#define FI first
#define SE second
#define SI(x) multiset<x>::iterator
#define MI map<int,int>::iterator
#define eps (1e-4)
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f*x;
}
void putpos(LL x) {
	if(!x) return ;
	putpos(x/10); putchar('0'+(x%10));
}
void putnum(LL x) {
	if(!x) putchar('0');
	else if(x < 0) putchar('-'),putpos(-x);
	else putpos(x);
}
void AIput(LL x,char c) {putnum(x);putchar(c);}

int n,m,s,o,k;
int L,R;
struct it{
	int l,r;it(){l=0x3f3f3f3f,r=-1;}
	it(int L,int R){l=L;r=R;}
}tre[MAXN<<2];
it merg(it a,it b) {return it(min(a.l,b.l),max(a.r,b.r));}
int M;
void maketree(int n) {
	M=1;while(M<n+2) M<<=1;
	for(int i = M+1;i <= M+n;i ++) tre[i] = it(n+1,0);
	for(int i = M-1;i > 0;i --) tre[i] = merg(tre[i<<1],tre[i<<1|1]);
}
void addtree(int x,it y) {
	int s = M+x;tre[s] = y;s >>= 1;
	while(s) tre[s] = merg(tre[s<<1],tre[s<<1|1]),s >>= 1;
}
it findtree(int l,int r) {
	if(l > r) return it(r+1,l-1);
	it as = it();
	int s = M+l-1,t = M+r+1;
	while(s || t) {
		if((s>>1) != (t>>1)) {
			if(!(s&1)) as = merg(as,tre[s^1]);
			if(t & 1) as = merg(as,tre[t^1]);
		}else break;
		s >>= 1;t >>= 1;
	}return as;
}
int findl(int x) {
	it as = findtree(1,x-1); return as.r;
}
int findr(int x) {
	it as = findtree(x+1,n); return as.l;
}
int a[MAXN];
LL dp[205][205],sum[205];
LL DP(int *s,int n) {
	if(n < 1) return 0ll;
	sum[0] = 0ll;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		sum[i] = sum[i-1] + s[i];
		dp[i][i] = 0;
	}
	for(int i = 2;i <= n;i ++) {
		for(int j = i-1;j > 0;j --) {
			dp[j][i] = 1e18;
			for(int k = j;k < i;k ++) {
				dp[j][i] = min(dp[j][i],dp[j][k] + dp[k+1][i]);
			}
			dp[j][i] += sum[i] - sum[j-1] + i-j;
		}
	}
	return dp[1][n];
}
int main() {
	n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i ++) {
		a[i] = read();
	}
	maketree(n);
	L = read();R = read();
	LL ans = 0;
	for(int i = 1;i <= L-1;i ++) {
		addtree(a[i],it(a[i],a[i]));
		int ll = findl(a[i]),rr = findr(a[i]);
		ans += rr-ll-1;
	}
	sort(a + L,a + R + 1);
	for(int i = L;i <= R;i ++) addtree(a[i],it(a[i],a[i]));
	int tm[205] = {},cntm = 0;
	for(int i = L;i <= R;i ++) {
		int j = i;
		cntm = 0;
		tm[++ cntm] = a[i] - findl(a[i]) - 1;
		while(j < R && findl(a[j+1]) == a[j]) {
			j ++; tm[++ cntm] = a[j] - findl(a[j]) - 1;
		}
		tm[++ cntm] = findr(a[j]) - a[j] - 1;
		ans += DP(tm,cntm);
		i = j;
	}
	for(int i = R+1;i <= n;i ++) {
		addtree(a[i],it(a[i],a[i]));
		int ll = findl(a[i]),rr = findr(a[i]);
		ans += rr-ll-1;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}