[CF1527D] MEX Tree （lca）

题面

给你一棵

n

n

n 个结点的树，对于所有的

k

∈

[

0

,

n

]

k\in[0,n]

k∈[0,n] ，求出

M

E

X

=

k

{\rm MEX}=k

MEX=k 的路径数量。

一条路径的

M

E

X

\rm MEX

MEX 定义为该路径上没出现的最小结点编号（编号从

0

0

0 到

n

−

1

n-1

n−1）。

1

≤

n

≤

2

e

5

1\leq n\leq 2e5

1≤n≤2e5，多组数据。

题解

一条路径的

M

E

X

\rm MEX

MEX 恰好等于

k

k

k 的充要条件是

• 结点

  0

  0

  0 到

  k

  −

  1

  k-1

  k−1 都出现在路径上。

• 结点

  k

  k

  k 没有出现在路径上。

我们先想想怎么求

0

0

0 到

i

i

i 都出现在路径上的路径个数，令其为

f

(

i

)

f(i)

f(i)。

如果这

i

+

1

i+1

i+1 个点在树上没办法由一条路径经过（形成的虚树不是一条链）那么答案一定为 0，并且

f

(

i

+

1

)

f(i+1)

f(i+1) 直到

f

(

n

)

f(n)

f(n) 的值也都是 0 。在这之前，如果包含它们的最短路径两端是

A

A

A 和

B

B

B（不妨令它们没有祖先关系），那么

f

(

i

)

f(i)

f(i) 就为

A

A

A 端子树大小 ×

B

B

B 端子树大小。

M

E

X

\rm MEX

MEX 等于

k

k

k 的答案不难发现可以用一个小容斥算出：

f

(

k

−

1

)

−

f

(

k

)

f(k-1)-f(k)

f(k−1)−f(k) 。

然后，难点就剩计算

f

(

i

)

f(i)

f(i) 了。首先不妨令

f

(

−

1

)

=

n

∗

(

n

−

1

)

2

f(-1)=\cfrac{n*(n-1)}{2}

f(−1)=2n∗(n−1)​

接着我们发现，如果把 0 当作根的话，一切都变得明朗。从

0

0

0 到

i

i

i 形成的虚树一定都经过根，那么我们用

A

A

A 和

B

B

B 两个变量存路径的两端就足够了（初始为 0）。从小到大依次加入点，如果出现加入的点

x

x

x 分别与

A

A

A 或

B

B

B 的最近公共祖先不是

1

,

A

,

B

,

x

1,A,B,x

1,A,B,x 中任何一个的话，那当前的

f

(

i

)

f(i)

f(i) 以及后面的都是 0 了，就不用继续算了。否则的话，就讨论讨论，看怎么更新

A

A

A 和

B

B

B 。

计算

f

(

i

)

f(i)

f(i) 的时候，如果

A

A

A 和

B

B

B 都是 0，那么就是经过 0 的路径数，提前处理一下即可；如果

A

A

A 和

B

B

B 其中一个是 0（假设是

A

A

A），那么先求出

B

B

B 往上走刚好走到 0 的儿子的那个点

B

′

B'

B′，答案就是

(

n

−

s

i

z

[

B

′

]

)

×

s

i

z

[

B

]

(n-siz[B'])\times siz[B]

(n−siz[B′])×siz[B]；如果

A

A

A 和

B

B

B 都大于 0 的话，答案自然是

s

i

z

[

A

]

×

s

i

z

[

B

]

siz[A]\times siz[B]

siz[A]×siz[B]。

具体实现有点细节多。复杂度

O

(

n

log

⁡

n

)

O(n\log n)

O(nlogn)。

CODE

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<map>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 300005
#define DB double
#define LL long long
#define ENDL putchar('\n')
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
LL read() {
	LL f=1,x=0;char s = getchar();
	while(s < '0' || s > '9') {if(s=='-')f = -f;s = getchar();}
	while(s >= '0' && s <= '9') {x=x*10+(s-'0');s = getchar();}
	return f * x;
}
int n,m,i,j,s,o,k;
LL as[MAXN];
vector<int> g[MAXN];
int d[MAXN],dfn[MAXN],rr[MAXN],tim,siz[MAXN];
LL dp[MAXN];
int A,B,FLAG,f[MAXN][21];//18
void dfs(int x,int ff) {
	d[x] = d[f[x][0] = ff] + 1;dp[x] = 0;siz[x] = 1;
	dfn[x] = ++ tim;
	for(int i = 1;i <= 18;i ++) f[x][i] = f[f[x][i-1]][i-1];
	for(int i = 0;i < (int)g[x].size();i ++) {
		int y = g[x][i];
		if(y != ff) {
			dfs(y,x);
			dp[x] += siz[x] *1ll* siz[y];
			siz[x] += siz[y];
		}
	}rr[x] = tim;
	return ;
}
int lca(int a,int b) {
	if(d[a] < d[b]) swap(a,b);
	if(d[a] > d[b]) {
		for(int i = 18;i >= 0;i --) {
			if(d[f[a][i]] >= d[b]) a = f[a][i];
		}
	}if(a == b) return a;
	for(int i = 18;i >= 0;i --) {
		if(f[a][i] != f[b][i]) {
			a = f[a][i]; b = f[b][i];
		}
	}return f[a][0];
}
LL cal() {
	if(!FLAG) return 0;
	if(A > B) swap(A,B);
	if(A == 1 && B == 1) return dp[1];
	if(A == 1) {
		int ft = B;
		for(int i = 18;i >= 0;i --) {
			if(d[f[ft][i]] > d[A]) ft = f[ft][i];
		}
		int nm1 = n - (rr[ft]-dfn[ft]+1);
		return (rr[B]-dfn[B]+1) *1ll* nm1;
	}
	return (rr[B]-dfn[B]+1) *1ll* (rr[A]-dfn[A]+1);
}
void addp(int x) {
	if(!FLAG) return ;
	if(A > B) swap(A,B);
	if(A == 1 && B == 1) B = x;
	else if(A == 1) {
		int lc = lca(x,B);
		if(lc == 1) A = x;
		else if(lc == B) B = x;
		else if(lc != x) FLAG = 0;
	}
	else {
		int lc1 = lca(A,x),lc2 = lca(B,x);
		if(lc1 == A) A = x;
		else if(lc2 == B) B = x;
		else if((lc1 == x) || (lc2 == x)) return ;
		else FLAG = 0;
	}return ;
}
int main() {
	int T = read();
	while(T --) {
		n = read();
		tim = 0;A = B = FLAG = 1;
		for(int i = 1;i <= n+1;i ++) {
			g[i].clear(); as[i] = 0;
			memset(f[i],0,sizeof(f[i]));
		}
		for(int i = 1;i < n;i ++) {
			s = read()+1;o = read()+1;
			g[s].push_back(o);
			g[o].push_back(s);
		}
		dfs(1,0);
		as[1] = n*1ll*(n-1)/2ll;
		for(int i = 2;i <= n;i ++) {
			LL ass = cal();
			as[i-1] -= ass;
			as[i] = ass;
			addp(i);
		}
		LL ass = cal();
		as[n] -= ass; as[n+1] = ass;
		for(int i = 1;i <= n+1;i ++) {
			printf("%lld ",as[i]);
		}ENDL;
	}
	return 0;
}