使用筛法在 O(logN) 的时间内查询多组数的素数因子

Prime Factorization using Sieve O(log n) for multiple queries

使用筛法在 O(logN) 的时间内查询多组数的素数因子

前言

通常, 我们使用 O(n ^ 2) 的两层循环来进行打表, 记录一个数字是否为素数, 再使用 O(n) 的循环来求所有素因子.

然而, Nitish Kumar提供了一种在 O(nloglogn) 内打表, O(logN) 时间内查询的算法.

核心思想

这种算法的核心思想是, 使用 spf[] 存放每一个数的最小素因子(Samllest Prime Factor), 对于每个数 /= 他的最小素因子, 直到这个数变为 1.

代码实现

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

#define MAXN   100001

int spf[MAXN];

void sieve()
{
    spf[1] = 1;
    for (int i=2; i<MAXN; i++)

        spf[i] = i;

    // 排除所有偶数因子, 使计算量减半.
    for (int i=4; i<MAXN; i+=2)
        spf[i] = 2;

    // 外层循环枚举 [3, sqrt(MAXN))
    // 内层循环进行 [i * i, MAXN)的验证
    // 有效地减少重复计算
    for (int i=3; i*i<MAXN; i++){
        if (spf[i] == i){
            for (int j=i*i; j<MAXN; j+=i)
                // 如果 spf[j] = j, 说明从未更新过值
                // 更新过一次后不再更新, 保证spf[i]为 最小 素因子
                if (spf[j]==j)
                    spf[j] = i;
        }
    }
}

vector<int> getFactorization(int x){
    vector<int> ret;
    while (x != 1){
        ret.push_back(spf[x]);
        x = x / spf[x];
    }
    return ret;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    sieve();
    int x = 12246;
    cout << "prime factorization for " << x << " : ";

    vector <int> p = getFactorization(x);

    for (int i=0; i<p.size(); i++)
        cout << p[i] << " ";
    cout << endl;
    return 0;
}