AVL树总结

定义：一棵AVL树或者是空树，或者是具有下列性质的二叉搜索树：它的左子树和右子树都是AVL树，且左右子树的高度之差的绝对值不超过1

AVL树失衡旋转总结：

假如以T为根的子树失衡、定义平衡因子为 H(left) – H(right) = bf (平衡因子，balance factor),T的左子树为L，右子树为R；

情形1：如果 bf(T) = 2，且bf(L)=1, 执行右旋转，高度减1；

情形2：如果 bf(T) =2 ，且bf(L)= -1, 执行先左后右旋转，高度减1；

情形3：如果 bf(T) =2 ，且bf(L)= 0， 执行右旋转，高度不变，完毕； （这种情形只有删除时会遇到）

情形4：如果bf(T) =-2，且bf(R) =-1, 执行左旋转，高度减1；

情形5：如果bf(T)=-2， 且bf(R)=1, 执行先右后左旋转，高度减1；

情形6：如果 bf(T) =-2，且bf(R)= 0，执行左旋转，高度不变，完毕；（这种情形只有删除时会遇到）

在插入时，高度减1，不用向上递归；删除时需要向上递归

AVL树旋转之插入旋转

设插入一个节点后，最下层的某棵子树不再平衡，设该子树的根节点为T，则

如果新插入节点在T的左子树的左子树上，则执行右旋转，情形1；

如果新插入的节点在T的右子树的右子树上，则执行左旋转，情形4；

如果新插入的节点在T的左子树的右子树上，则执行先左后右旋转，情形2；

如果心插入的节点在T的右子树的左子树上，则执行先右后左旋转，情形5；

插入旋转后不会改变该棵子树的高度，因此不用向上层递归；

如果一个插入操作没有导致失衡，则插入操作可能会也可能不会增加数的高度

如果一个插入操作导致失衡，则插入前的高度和插入失衡旋转后的高度相等，因此插入旋转不用向上递归

定理：在插入过程中，由平衡状态到失衡状态，树的高度必然加1；由失衡到平衡状态，树的高度必然减1；

定理：构建AVL树时，导致高度增加的那次插入操作必然不会导致失衡；导致失衡的那次插入旋转操作，必然使树的高度先加1（插入），在减1（旋转）从而使树的高度不变；

AVL树旋转之删除旋转

要删除节点为T，父节点为P，子节点为S；

如果T没有孩子节点，即左右子树为空，直接删除，P指向T的指针设为NULL，，向上更新平衡因子，若有失衡按情形调整

如果T只有一个孩子S， 将P指向T的指针指向S，向上更新平衡因子，如果失衡按情形调整

如果T有两个孩子，选择后继节点q（也可以选择前驱），用q替换T，接下来删除q，q的左子树一定为空，右子树可能为空也可能不为，此时将q的父节点指向q的指针指向q的右子树，向上更新平衡因子，如果失衡按情形旋转。

性能分析：设N(h)为高度为h的AVL树的最小节点数目，则N(h)=N(h-1) + N(h-2) +1; N(0)=0, N(1)=1; 类似斐波那契数列； 插入、查找和删除的性能均为log(n)