题意:

给出一个\(n \times n\)的矩阵\(A\),求\(A+A^2+A^3+ \cdots + A^k\)。

分析:

这题是有\(k=0\)的情况,我们一开始先特判一下,直接输出单位矩阵\(E\)。

下面讨论\(k > 0\)的情况:

方法一

设答案为\(S_k(k > 0)\)

把矩阵增广一下

$\begin{bmatrix}

A & O \

E & E

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

A^n\

S_{n-1}

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

A^{n+1}\

S_n

\end{bmatrix}\(
\)E\(表示单位矩阵,\)O\(是全为零的矩阵。
\){\begin{bmatrix}

A & O \

E & E

\end{bmatrix}}^k

\begin{bmatrix}

A\

O

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

A^{k+1}\

S_k

\end{bmatrix}$

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; const int maxn = 40;
const int MOD = 10; int mul(int a, int b) { return a * b % MOD; } void add(int& a, int b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; } int n, k, sz;
int a[maxn][maxn], b[maxn][maxn]; struct Matrix
{
int a[maxn * 2][maxn * 2]; Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); } Matrix operator * (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < sz; i++)
for(int j = 0; j < sz; j++)
for(int k = 0; k < sz; k++)
add(ans.a[i][j], mul(a[i][k], t.a[k][j]));
return ans;
} void output() {
for(int i = 0; i < sz; i++) {
for(int j = 0; j < sz - 1; j++)
printf("%d ", a[i][j]);
printf("%d\n", a[i][sz - 1]);
}
printf("\n");
}
}; Matrix pow_mod(Matrix a, int p) {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < sz; i++) ans.a[i][i] = 1;
while(p) {
if(p & 1) ans = ans * a;
a = a * a;
p >>= 1;
}
return ans;
} int main()
{
while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2 && n) {
Matrix M;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%d", &a[i][j]);
a[i][j] %= MOD;
M.a[i][j] = a[i][j];
} if(!k) {
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n - 1; j++)
printf("%d ", i == j ? 1 : 0);
printf("%d\n", i == n - 1 ? 1 : 0);
}
printf("\n");
continue;
} for(int i = n; i < n * 2; i++)
M.a[i][i] = M.a[i][i - n] = 1; sz = n * 2;
M = pow_mod(M, k);
memset(b, 0, sizeof(b));
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) if(M.a[i + n][j])
for(int k = 0; k < n; k++)
add(b[i][k], mul(M.a[i + n][j], a[j][k])); for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n - 1; j++)
printf("%d ", b[i][j]);
printf("%d\n", b[i][n - 1]);
}
printf("\n");
} return 0;
}

方法二

有如下递归式:

  • \(S_k=(E+A^{\frac{k}{2}})S^{\frac{k}{2}}\),k是偶数
  • \(S_k=(E+A^{\frac{k}{2}})S^{\frac{k}{2}}+A^k\),k是奇数

所以也可以直接递归求解。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std; const int maxn = 40;
const int MOD = 10; int mul(int a, int b) { return a * b % MOD; } void add(int& a, int b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; } int n, k; struct Matrix
{
int a[maxn][maxn]; Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); } void E() {
memset(a, 0, sizeof(a));
for(int i = 0; i < maxn; i++) a[i][i] = 1;
} Matrix operator + (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) {
add(ans.a[i][j], a[i][j]);
add(ans.a[i][j], t.a[i][j]);
}
return ans;
} Matrix operator * (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) if(a[i][j])
for(int k = 0; k < n; k++)
add(ans.a[i][k], mul(a[i][j], t.a[j][k]));
return ans;
} void output() {
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n - 1; j++)
printf("%d ", a[i][j]);
printf("%d\n", a[i][n - 1]);
}
printf("\n");
}
}; Matrix pow_mod(Matrix a, int p) {
Matrix ans;
ans.E();
while(p) {
if(p & 1) ans = ans * a;
a = a * a;
p >>= 1;
}
return ans;
} Matrix E; Matrix sum(Matrix a, int p) {
if(p == 1) return a;
Matrix ans;
ans = (E + pow_mod(a, p / 2)) * sum(a, p / 2);
if(p & 1) ans = ans + pow_mod(a, p);
return ans;
} int main()
{
E.E();
while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
if(n == 0 && k == 0) break;
Matrix a;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%d", &a.a[i][j]);
a.a[i][j] %= 10;
} if(k == 0) {
E.output();
continue;
} a = sum(a, k);
a.output();
} return 0;
}

UVa 11149 Power of Matrix 矩阵快速幂的更多相关文章

  1. UVa 11149 Power of Matrix (矩阵快速幂,倍增法或构造矩阵)

    题意:求A + A^2 + A^3 + ... + A^m. 析:主要是两种方式,第一种是倍增法,把A + A^2 + A^3 + ... + A^m,拆成两部分,一部分是(E + A^(m/2))( ...

  2. UVA 11149 - Power of Matrix(矩阵乘法)

    UVA 11149 - Power of Matrix 题目链接 题意:给定一个n*n的矩阵A和k,求∑kiAi 思路:利用倍增去搞.∑kiAi=(1+Ak/2)∑k/2iAi,不断二分就可以 代码: ...

  3. UVA 11149.Power of Matrix-矩阵快速幂倍增

    Power of Matrix UVA - 11149       代码: #include <cstdio> #include <cstring> #include < ...

  4. POJ 3233 Matrix Power Series(矩阵快速幂)

    Matrix Power Series Time Limit: 3000MS Memory Limit: 131072K Total Submissions: 19338 Accepted: 8161 ...

  5. POJ 3233 Matrix Power Series (矩阵快速幂+二分求解)

    题意:求S=(A+A^2+A^3+...+A^k)%m的和 方法一:二分求解S=A+A^2+...+A^k若k为奇数:S=(A+A^2+...+A^(k/2))+A^(k/2)*(A+A^2+...+ ...

  6. POJ 3233 Matrix Power Series (矩阵快速幂)

    题目链接 Description Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A^2 + A^3 + - ...

  7. 题解报告:poj 3233 Matrix Power Series(矩阵快速幂)

    题目链接:http://poj.org/problem?id=3233 Description Given a n × n matrix A and a positive integer k, fin ...

  8. poj3233 Matrix Power Series(矩阵快速幂)

    题目要求的是 A+A2+...+Ak,而不是单个矩阵的幂. 那么可以构造一个分块的辅助矩阵 S,其中 A 为原矩阵,E 为单位矩阵,O 为0矩阵    将 S 取幂,会发现一个特性: Sk +1右上角 ...

  9. fzu 1911 Construct a Matrix(矩阵快速幂+规律)

    题目链接:fzu 1911 Construct a Matrix 题目大意:给出n和m,f[i]为斐波那契数列,s[i]为斐波那契数列前i项的和.r = s[n] % m.构造一个r * r的矩阵,只 ...

随机推荐

  1. java ReentranLock锁

    1.效果和synchronized一样,都可以同步执行,lock方法获得锁,unlock方法释放锁 使用示例: package com.test; import java.util.concurren ...

  2. 【转】 Oracle 中的一些重要V$ 动态性能视图,系统视图和表

    v$database:数据库的信息,如数据库名,创建时间等. v$instance 实例信息,如实例名,启动时间. v$parameter 参数信息,select * from v$parameter ...

  3. 洛谷 P2983 [USACO10FEB]购买巧克力Chocolate Buying

    购买巧克力Chocolate Buying 乍一看以为是背包,然后交了一个感觉没错的背包上去. #include <iostream> #include <cstdio> #i ...

  4. 使用OpenSSH远程管理Linux服务器

    一.使用OpenSSH远程管理Linux服务器 sshd是OpenSSH的服务器端守护进程,与之对应的Windows下客户端软件有SecureCRT/Xshell/PuTTY等. OpenSSH一般为 ...

  5. 织梦list/arclist标签调用文章内容

    list标签: 1. 进入后台->模型表单-> 频道模型 -> 内容模型管理 -> 修改对应的模型 2. 列表附加字段-填写body 3. 调用时添加“addfields='b ...

  6. SQL Server 查询性能优化——创建索引原则

    索引是什么?索引是提高查询性能的一个重要工具,索引就是把查询语句所需要的少量数据添加到索引分页中,这样访问数据时只要访问少数索引的分页就可以.但是索引对于提高查询性能也不是万能的,也不是建立越多的索引 ...

  7. ssh连接github连不上

    连接github报端口22连接不上: 输入命令展示出ssh_config内容后: vim /etc/ssh/ssh_config 或者使用open /etc/ssh/ssh_config命令在文本编辑 ...

  8. JAVA多线程编程——JAVA内存模型

    一.何为“内存模型” 内存模型描述了程序中各个变量(实例域.静态域和数组元素)之间的关系,以及在实际计算机系统中将变量存储到内存和从内存中取出变量这样的底层细节,对象最终是存储在内存里面的,但是编译器 ...

  9. [dp][uestc oj]J - 男神的约会

    J - 男神的约会 Time Limit: 3000/1000MS (Java/Others)     Memory Limit: 65535/65535KB (Java/Others) Submit ...

  10. APT和它的超级牛力

    当你在使用apt时,例如“apt -h”会提示“本APT具有超级牛” 先把牛放一放,先学习以下关于APT的知识. APT 高级打包工具(英语:Advanced Packaging Tools,缩写为A ...