2017-9-2 NOIP模拟赛

“与”

（and.pas/.c/.cpp）

时间限制：1s；空间限制64MB

题目描述：

给你一个长度为n的序列A，请你求出一对Ai，Aj（1<=i<j<=n）使Ai“与”Aj最大。

Ps：“与”表示位运算and，在c++中表示为&。

输入描述：

第一行为n。接下来n行，一行一个数字表示Ai。

输出描述：

输出最大的Ai“与”Aj的结果。

样例输入：

3

8

10

2

样例输出：

8

样例解释：

8 and 10 = 8

8 and 2 = 0

10 and 2 = 2

数据范围：

20%的数据保证n<=5000

100%的数据保证 n<=3*10^5，0<=Ai<=10^9

/*
    10^9内的二进制最多只有30位，所以我们可以从高到低枚举每一位
    如果发现有两个或两个以上的数这位上有1，就说明答案的这一位一定有1，方法比较贪心，正确性很明显
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define maxn 300010
int a[maxn],n,ans,len;
bool vis[maxn];
int main(){
    freopen("and.in","r",stdin);
    freopen("and.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    int x;
    for(int i=;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=;i>=;i--){
        int flag=;
        for(int j=;j<=n;j++)
            if((a[j]&(<<(i-)))&&!vis[j])flag++;
        if(flag>=){
            ans+=(<<(i-));
            for(int j=;j<=n;j++)
                if(!(a[j]&(<<(i-))))vis[j]=;
        }
    }
    printf("%d",ans);
}

100分

小象涂色

（elephant.pas/.c/.cpp）

时间限制：1s，空间限制128MB

题目描述：

小象喜欢为箱子涂色。小象现在有c种颜色，编号为0~c-1；还有n个箱子，编号为1~n，最开始每个箱子的颜色为1。小象涂色时喜欢遵循灵感：它将箱子按编号排成一排，每次涂色时，它随机选择[L，R]这个区间里的一些箱子（不选看做选0个），为之涂上随机一种颜色。若一个颜色为a的箱子被涂上b色，那么这个箱子的颜色会变成（a*b）mod c。请问在k次涂色后，所有箱子颜色的编号和期望为多少？

输入描述：

第一行为T，表示有T组测试数据。

对于每组数据，第一行为三个整数n,c,k。

接下来k行，每行两个整数Li，Ri，表示第i个操作的L和R。

输出描述：

对于每组测试数据，输出所有箱子颜色编号和的期望值，结果保留9位小数。

样例输入：

3

3 2 2

2 2

1 3

1 3 1

1 1

5 2 2

3 4

2 4

样例输出：

2.062500000

1.000000000

3.875000000

数据范围：

40%的数据1 <= T <= 5，1 <= n, k <= 15，2 <= c <= 20

100%的数据满足1 <= T <= 10，1 <= n, k <= 50，2 <= c <= 100，1 <= Li <= Ri <= n

/*
    一道有关期望的dp。首先可知每个操作中，一个物品会被染色的概率为1/2，用某种颜色染色的概率为1/c。
    40分的方程是用f[i][j][k]表示第i个物品在j次操作次数后颜色变为k的概率，时间复杂度大概是O(T*N*K*c^2)
    60分要考虑到所有物品具有相似性，即n个物品本质是相同的，所以不用枚举物品f[i][j]表示一个物品操作i次颜色变为j的概率。满足：
    f[i+1][j]+=f[i][j]*(1/2)        f[i+1][(j*b)%c]+=f[i][j]*[(1/2)*(1/c)]
    初始值f[0][1]=1，答案就是∑f[i][j]*j  (i表示该箱子的操作次数,0 <= j<c)。复杂度O（T*K*c^2）

*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int T,n,c,K,mc,cnt[];
double dp[][],ans;
int main(){
    //freopen("Cola.txt","r",stdin);
    freopen("elephant.in","r",stdin);
    freopen("elephant.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        memset(dp,,sizeof(dp));
        memset(cnt,,sizeof(cnt));
        ans=;mc=;
        scanf("%d%d%d",&n,&c,&K);
        for(int i=;i<=K;i++){
            int l,r;
            scanf("%d%d",&l,&r);
            for(int j=l;j<=r;j++){
                cnt[j]++;
                mc=max(cnt[j],mc);
            }
        }
        dp[][]=;
        for(int i=;i<mc;i++){
            for(int j=;j<c;j++){
                dp[i+][j]+=dp[i][j]/;
                for(int k=;k<c;k++){
                    dp[i+][(j*k)%c]+=dp[i][j]/(*c);
                }
            }
        }
        for(int i=;i<=n;i++){
            for(int j=;j<c;j++){
                ans+=dp[cnt[i]][j]*j;//概率乘以收益
            }
        }
        printf("%.9lf\n",ans);
    }
    return ;
}

100分 概率dp

行动！行动！

（move.pas/.c/.cpp）

时间限制：1s；空间限制：128MB

题目描述：

大CX国的大兵Jack接到一项任务：敌方占领了n座城市（编号0~n-1），有些城市之间有双向道路相连。Jack需要空降在一个城市S，并徒步沿那些道路移动到T城市。虽然Jack每从一个城市到另一个城市都会受伤流血，但大CX国毕竟有着“过硬”的军事实力，它不仅已经算出Jack在每条道路上会损失的血量，还给Jack提供了k个“简易急救包”，一个包可以让Jack在一条路上的流血量为0。Jack想知道自己最少会流多少血，不过他毕竟是无脑的大兵，需要你的帮助。

输入描述：

第一行有三个整数n,m,k，分别表示城市数，道路数和急救包个数。

第二行有两个整数，S,T。分别表示Jack空降到的城市编号和最终要到的城市。

接下来有m行，每行三个整数a,b,c，表示城市a与城市b之间有一条双向道路。

输出描述：

Jack最少要流的血量。

样例输入：

5 6 1

0 3

3 4 5

0 1 5

0 2 100

1 2 5

2 4 5

2 4 3

样例输出：

8

数据范围：

对于30%的数据,2<=n<=50,1<=m<=300,k=0;

对于50%的数据,2<=n<=600,1<=m<=6000,0<=k<=1;

对于100%的数据,2<=n<=10000,1<=m<=50000,0<=k<=10.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 10010
int n,m,k,s,t,head[maxn],num,cnt,a[maxn];
long long path[maxn];
bool vis[maxn];
long long ans=;
struct node{
    int to,pre;
    long long v;
}e[*];
void Insert(int from,int to,long long v){
    e[++num].to=to;
    e[num].v=v;
    e[num].pre=head[from];
    head[from]=num;
}
void check(long long sum){
    memset(a,,sizeof(a));
    for(int i=;i<=cnt;i++)a[i]=path[i];
    sort(a+,a+cnt+);
    for(int i=cnt,j=;j<=k;i--,j++)sum-=a[i];
    ans=min(ans,sum);
}
void dfs(int now,long long sum){
    if(now==t){
        check(sum);
        return;
    }
    for(int i=head[now];i;i=e[i].pre){
        int to=e[i].to;
        if(vis[to])continue;
        vis[to]=;
        cnt++;
        path[cnt]=e[i].v;
        dfs(to,sum+e[i].v);
        vis[to]=;
        cnt--;
    }
}
void spfa(){
    queue<int>q;
    memset(path,,sizeof(path));
    q.push(s);vis[s]=;path[s]=;
    while(!q.empty()){
        int now=q.front();q.pop();vis[now]=;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].pre){
            int to=e[i].to;
            if(path[to]>path[now]+e[i].v){
                path[to]=path[now]+e[i].v;
                if(!vis[to]){
                    vis[to]=;
                    q.push(to);
                }
            }
        }
    }
    cout<<path[t];
}
long long qread(){
    long long i=;
    char ch=getchar();
    while(ch<''||ch>''){ch=getchar();}
    while(ch<=''&&ch>=''){i=i*+ch-'';ch=getchar();}
    return i;
}
int main(){
    //freopen("Cola.txt","r",stdin);
    freopen("move.in","r",stdin);
    freopen("move.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&s,&t);
    int x,y,z;
    for(int i=;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        z=qread();
        Insert(x,y,z);
        Insert(y,x,z);
    }
    if(k==){
        spfa();
        return ;
    }
    vis[s]=;
    dfs(s,);
    cout<<ans;
    return ;
}

40分 暴力

/*
    因为k<=10所以拓展点的时候直接x+10+y了
    但其实k==10的话这样拓展会重复...
    幸好只有一个点...
    谨慎谨慎..
    还有就是 这题这样做的话卡SPFA
    要用dij
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<queue>
#define pa pair<int,int>
#define mk make_pair
using namespace std;
int num,head[*],n,m,k,S,T;
struct node{
    int to,pre,v;
}e[**];
void Insert(int from,int to,int v){
    for(int i=head[from];i;i=e[i].pre)
        if(e[i].to==to){
            e[i].v=min(e[i].v,v);
            return;
        }
    e[++num].to=to;
    e[num].v=v;
    e[num].pre=head[from];
    head[from]=num;
}
int Cal(int x,int y){
    return x*+y;
}
priority_queue<pa,vector<pa>,greater<pa> >q;
bool vis[*];
int dis[*];
void Dij(int s){
    q.push(mk(,s));
    memset(dis,/,sizeof(dis));
    dis[s]=;
    while(!q.empty()){
        int now=q.top().second;q.pop();
        if(vis[now])continue;
        vis[now]=;
        for(int i=head[now];i;i=e[i].pre){
            int to=e[i].to;
            if(dis[to]>e[i].v+dis[now]){
                dis[to]=e[i].v+dis[now];
                q.push(mk(dis[to],to));
            }
        }
    }
}
int main(){
    freopen("move.in","r",stdin);
    freopen("move.out","w",stdout);
    scanf("%d%d%d%d%d",&n,&m,&k,&S,&T);
    S++;T++;
    int x,y,z;
    for(int i=;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        x++,y++;
        for(int j=;j<=k;j++){
            int x1=Cal(x,j),y1=Cal(y,j);
            Insert(x1,y1,z);
            Insert(y1,x1,z);
            if(j){
                int x2=Cal(x,j-),y2=Cal(y,j-);
                Insert(x1,y2,);
                Insert(y1,x2,);
            }
        }
    }
    Dij(Cal(S,k));
    int ans=0x7fffffff;
    for(int i=;i<=k;i++)
        ans=min(ans,dis[Cal(T,i)]);
    printf("%d",ans);
}

100分 分层图+堆优化Dij