bzoj3453: tyvj 1858 XLkxc（拉格朗日插值）

传送门

\(f(n)=\sum_{i=1}^ni^k\)，这是自然数幂次和，是一个以\(n\)为自变量的\(k+1\)次多项式

\(g(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)，因为这东西差分之后是\(f\)，所以这是一个\(k+2\)次多项式

同理最后我们要求的也是一个\(k+3\)次多项式

\(f,g\)暴力计算，然后把第三个多项式用拉格朗日插值插出来，最后只要求第三个多项式的点值即可

话说这题模数没问题啊……为啥得开longlong啊……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define int long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=155,P=1234567891;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
    R int res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
    return res;
}
int f[N],g[N],n,k,a,d,x[N];
int Large(int *f,int n,int k){
	if(k<=n)return f[k];
	int ty=(n&1)?P-1:1,res=0,tmp=1;
	fp(i,1,n)tmp=1ll*tmp*(k-i)%P*ksm(i,P-2)%P;
	fp(i,0,n){
		res=add(res,1ll*tmp*ty%P*f[i]%P);
		tmp=1ll*tmp*(k-i)%P*ksm(k-i-1,P-2)%P*(n-i)%P*ksm(i+1,P-2)%P;
		ty=P-ty;
	}return res;
}
signed main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	int T;scanf("%lld",&T);
	while(T--){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&a,&n,&d);
//		memset(f,0,sizeof(f)),memset(g,0,sizeof(g));
		fp(i,1,k+4)f[i]=add(f[i-1],ksm(i,k));
		fp(i,1,k+4)f[i]=add(f[i],f[i-1]);
		fp(i,0,k+4)g[i]=add(i?g[i-1]:0,Large(f,k+4,add(a,mul(i,d))));
		printf("%lld\n",Large(g,k+4,n));
	}return 0;
}