Ideas and Tricks Part II

33.对于统计答案幂次的技巧

对于$x^k$，考虑其组合意义：将$k$个不同球放到$x$个不同的盒子里的方案数，直接维护不好维护，那么考虑枚举把这些球放到了哪些盒子里，最后乘上第二类斯特林数和对于的阶乘（保证盒子有序），可以利用一个dp来统计，每次转移的时候考虑是否选择这个盒子$x$

然后这个做法相当于维护了答案的下降幂，由于下降幂优秀的性质

$(x+1)^{\underline{m}}= x^{\underline{m}}+mx^{\underline{m-1}}$

最后利用第二类斯特林数将下降幂转化为普通幂即可

34.解递归式$f_x=af_{x-i}+bf_{x-j}$

考虑其组合意义，相当于是爬楼梯，每一次可以走$i$步代价为$a$，或者走$j$步代价为$b$，总代价为每一步代价的乘积，然后问所有走到$n$的方案的代价总和为多少

可以枚举其中一种步走了多少次

$\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n}{i} \rfloor} [j|n-ik]a^kb^{\frac{n-ik}{j}}\binom{k+\frac{n-ik}{j}}{k}$

当然如果代价是每一步之和也是同理

35.吉司机线段树

势能函数啥的我也没听懂，不管他

吉司机线段树以其优秀的性质可以维护各种duliu信息

然而我只会区间$max/min$（我觉得就这个有点用吧）

以取$min$为例，就是在线段树中维护最大值$MAX_0$，次大值$MAX_1$和相应出现的次数，注意此处的次大值是要严格小于最大值的（如果不存在次大值那么可以将其赋为$-inf$）

当每次更新的时候检查当前节点设当前需要取$min$的是$t$

如果$t \geq MAX_0$那么说这个区间什么也不会发生，那么直接返回

如果 $t \leq MAX_1$那么说明更新的区间内会变化的数不止一个，那么继续递归下去

如果$ MAX_1 < t < MAX_0 $那么这个区间内会被更新的数只有$MAX_0$一个数，那么直接打上减法标记，然后修改$MAX_0$的值为$t$

时间复杂度大概感性理解一下

就是区间取$min$操作会使序列中的数趋于相同，每一次第三种操作更新的时候更新一个数，然后第二种情况递归下去，肯定会减少区间中不同数的数量，这样的区间每次询问最多$log$个，那么就是$nlogn$的复杂度

如果要区间加减，那么就是$log^2n$

36.DP转移状态有互相转移的情况

即DP转移建出来的图里面有环的情况

一句话：利用最短路思想，先把DP的初始状态放入堆中，然后利用状态之间的关系进行转移，跑最短路即可

其实就是废话

37.$(x_1+x_2+...+x_n)^k \equiv x_1^k+x_2^k+...+ x_n^k(\mod k)$k为质数

$\\ \equiv \sum_{\sum k_i=k} \binom{k}{k_1,k_2,...,k_n}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_n^{k_n}$

$\\ \equiv \sum_{\sum k_i=k} \frac{k!}{k_1!k_2!...k_n!}x_1^{k_1}x_2^{k_2}...x_n^{k_n}$

如果$k_1,k_2,...,k_n$中不存在一个$k_i=k$那么系数中一定存在$k$这个因子，那么取模之后系数就变为$0$

那么上式得证

38.状压DP的优化

对于一些分层枚举的状压DP，往往是需要枚举子集进行转移，时间复杂度为$O(3^n)$

有一种方法可以优化到$O(n2^n)$，枚举子集可以换成尝试将一个点一个点加入到集合中，可以做$0/1$背包来进行转移，但空间需要多开一维

Yet Another DAG Problem

39.拆分数优化DP

对于一些指数级别的DP，可以转化枚举某一个集合中具体是哪些元素为枚举集合的大小，当然这是在保证集合中的数是等价的情况，然后这个DP复杂度就变为拆分数级别的复杂度，一般来说可以跑$40-50$的数据规模

40.询问集合中第$k$大/小

就是给定一种生成某一集合的方法，一般是给出一个序列每一个数可选可不选，问集合中第$k$大的数是多少，往往这个集合是巨大的（指数级别），有一种方法可以从小到大构造出集合中的数

先把序列排好序

设二元组$(sum,id)$表示当前操作出来的数为$sum$，并且当前考虑到序列中第$id$个数的状态，并且第$id$个数必选

然后可以进行转移

$(sum,id)\rightarrow (sum+a[id+1],id+1)$

$(sum,id)\rightarrow (sum+a[id+1]-a[id],id+1)$

相当于是进行$0/1$背包的过程，这个二元组可以用堆来进行维护

如果可以选多个，那么多一个转移

$(sum,id)\rightarrow (sum+a[id],id)$

相当于在做无限背包

再拓展如果每一个数有一个选择上限，那么需要用三元组来记录状态即$(sum,cnt,id)$其中多出来的$cnt$表示当前这个数选了$cnt$次，其他转移同理进行即可

再再拓展每一个数有一个下限和上限，那么在三元组的基础上，在进行转移到下个数的时候，选下限个数即可，就可以保证满足限制了