算法学习笔记(30)：Kruskal 重构树

Kruskal 重构树

这是一种用于处理与最大/最小边权相关的一个数据结构。

其与 kruskal 做最小生成树的过程是类似的，我们考虑其过程：

按边权排序，利用并查集维护连通性，进行合并。

如果我们在合并时，新建一个节点，其权值为当前处理的边的权值，并将合并的两个节点都连向新建的节点，那么就可以得到一颗重构树。

例如下列数据生成的重构树：

4
1 4 2
2 3 4
1 3 1
3 4 3

黑色代表节点编号，红色代表其权值。

其满足一些性质：

• 这是一个二叉树，也是一个二叉堆

• 两点 \(\mathrm{LCA}\) 的权值即是这两点联通的 最小/最大 代价/时间。

• 对于一个限制，找到某个点最高的祖先 \(S\) 满足这个限制，那么 \(S\) 所在子树都满足此限制，并且此子树下所有叶节点在此限制下全部联通。

由于这些性质，kruskal 重构树常常与树剖/树上倍增放一起，做到每次 \(O(\log n)\) 的神秘操作。

---

以 Qpwoeirut and Vertices - 洛谷 为例：

给出 \(n\) 个点，\(m\) 条边的不带权无向连通图，\(q\) 次询问至少要加完前多少条边 \([L, R]\) 中的所有节点联通。

这是非常板的题，边权也就是其编号。

设 \(f(x)\) 表示 \(x\) 和 \(x + 1\) 联通的时间，那么所求也就是 \(\max_{x = L}^{R - 1} f(x)\)，这只需要求出 \(f(x)\) 随便维护一下即可。

那么求 \(x, x + 1\) 的联通时间，找到他们在重构树上的 \(\mathrm{LCA}\)，返回其编号即可。

---

[NOI2018] 归程 - 洛谷

或许其考点就是知不知道重构树，如果会了重构树，那么就简单了。

按照边权从大到小建出重构树，那么在当前水位下可联通的部分（整棵子树）也就很好求。

求这部分到固定的终点的最短路径？跑一次 DJK，然后把重构树看作一颗线段树，节点保存的也就是子树内最小的距离，在查询的时候利用倍增跳一跳就行了。

---

另一种打开方式 - 基于点权的 kruskal 重构树

我们从这道题开始：

给定一颗树，认为一条从 \(x \to y\) 的简单路径是好的，当且仅当路径上的点中编号最小的是 \(x\)，最大的是 \(y\)。计数好的简单路径条数。

有一种解决方法是利用笛卡尔树，然而我并不是很会，所以不管了。

这里发现没有我们熟悉的边权了，但是我们仍然可以考虑类似的过程，首先按照点权排序，这里不妨设为从小到大。

那么我们依次遍历 \(x\)，如果此时遍历到了一个边 \((x, y)\) 满足 \(w_x > w_y\)，那么将 \(x\) 作为 \(y\) 所在的树的根的父亲（也就是并查集合并的过程，合并完之后其实就是一个重构树）

可以发现，这样，\(\mathrm{lca}(x, y)\) 的点权也就是原树上两点路径间的最大权值。

同理，在这道题中建出从大到小的树，那么 \((x, y)\) 能够做出贡献当且仅当在一棵树上 \(x\) 作为 \(y\) 的祖先，并且在另外一颗树上 \(y\) 是 \(x\) 的祖先。

于是在一棵树上加，另一棵树上遍历即可。

# [IOI2018] werewolf 狼人

我们通过这道经典的题目细致的讲一讲如何构造点权的重构树。

题意中的路径需要满足前面部分 \(\ge L_i\)，后面部分 \(\le R_i\)，我们按照点编号大小构建两棵重构树，第一棵是最小联通标号，第二则是最大。

这是原树：

我们先构造第一棵，也就是最小联通标号，那么此时我们需要从编号大的作为叶子开始，一点一点构建这个树。

首先加入 \(5\) 节点，没有已经加入的节点，则加入 \(4\)，同理，则加入 \(3\)，发现此时 \(4\) 存在，并且其所在树的根为 \(4\)，则将 \(3\) 作为 \(4\) 的根：

此时继续加入 \(2\)，没有连着已经加入的节点，继续加入 \(1\)，发现 \(1\) 与 \(5, 2, 3\) 相连，那么将 \(1\) 作为他们所在子树的根即可：

最后加入 \(0\)，发现与 \(3\) 相连，则 \(0\) 作为 \(3\) 所在的子树的根的父亲即可：

此时，我们构造出的这棵重构树满足两点的 \(lca\) 即他们在原树上路径间的最小值，除了不是一棵二叉树，性质与边权重构的树性质类同。

同理，我们可以构造出另一棵树：

于是问题转化为在求两棵树上两个子树是否有交，这不是本文的重点，略。

这部分的代码大概就是：

mfs.init(n);
for (int x = 0; x < n; ++x) {
	for (int y : T[0].G[x]) {
		// 如果还没有加入或者已经联通就跳过
		if (y > x || mfs.find(x) == mfs.find(y)) continue;
		T[1].add(x, mfs.find(y)); // 注意这里是 x 作为 find(y) 的父亲！
		mfs.merge(y, x); // 注意这里是 grp[find(y)] = x !!!
	}
}

---

然而事实上我们可以不用如此，完全可以直接将点权下方到边权即可。

在这道题来说，如果是构建第一棵树，那么边权设为 \(\min(x, y)\) 即可。

构造出来的树即是：

可以看见构建顺序不同……但是很像！就是把相同的点缩起来了……QwQ

不过感觉第一种写法在处理一些东西的时候方便很多。

---

作者有话说

对于重构树的另一种打开方式我并没有在其他地方看到过，毕竟它并没有什么特别突出的点使得它可以代替边权的重构树，甚至在重构出来的形态 - 非二叉树上劣于边权的重构树。

不过这个思想还是蛮不错的。

有总比没有的好