[CF1748E] Yet Another Array Counting Problem

题目描述

The position of the leftmost maximum on the segment $ [l; r] $ of array $ x = [x_1, x_2, \ldots, x_n] $ is the smallest integer $ i $ such that $ l \le i \le r $ and $ x_i = \max(x_l, x_{l+1}, \ldots, x_r) $ .

You are given an array $ a = [a_1, a_2, \ldots, a_n] $ of length $ n $ . Find the number of integer arrays $ b = [b_1, b_2, \ldots, b_n] $ of length $ n $ that satisfy the following conditions:

$ 1 \le b_i \le m $ for all $ 1 \le i \le n $ ;
for all pairs of integers $ 1 \le l \le r \le n $ , the position of the leftmost maximum on the segment $ [l; r] $ of the array $ b $ is equal to the position of the leftmost maximum on the segment $ [l; r] $ of the array $ a $ .

Since the answer might be very large, print its remainder modulo $ 10^9+7 $ .

输入格式

Each test contains multiple test cases. The first line contains a single integer $ t $ ( $ 1 \le t \le 10^3 $ ) — the number of test cases.

The first line of each test case contains two integers $ n $ and $ m $ ( $ 2 \le n,m \le 2 \cdot 10^5 $ , $ n \cdot m \le 10^6 $ ).

The second line of each test case contains $ n $ integers $ a_1,a_2,\ldots,a_n $ ( $ 1 \le a_i \le m $ ) — the array $ a $ .

It is guaranteed that the sum of $ n \cdot m $ over all test cases doesn't exceed $ 10^6 $ .

输出格式

For each test case print one integer — the number of arrays $ b $ that satisfy the conditions from the statement, modulo $ 10^9+7 $ .

样例 #1

样例输入 #1

4

3 3

1 3 2

4 2

2 2 2 2

6 9

6 9 6 9 6 9

9 100

10 40 20 20 100 60 80 60 60

样例输出 #1

提示

In the first test case, the following $ 8 $ arrays satisfy the conditions from the statement:

$ [1,2,1] $ ;
$ [1,2,2] $ ;
$ [1,3,1] $ ;
$ [1,3,2] $ ;
$ [1,3,3] $ ;
$ [2,3,1] $ ;
$ [2,3,2] $ ;
$ [2,3,3] $ .

In the second test case, the following $ 5 $ arrays satisfy the conditions from the statement:

$ [1,1,1,1] $ ;
$ [2,1,1,1] $ ;
$ [2,2,1,1] $ ;
$ [2,2,2,1] $ ;
$ [2,2,2,2] $ .

不妨设现在递归到了区间 $[l,r]$

此时，我们可以用 ST 表求出 $[l,r]$ 靠左的最大值所在的位置，设在 $k$ 吧。那么所有跨越了 $k$ 的区间的最左最大值都在 $k$。有一点区间dp的痕迹。

然后定义 $dp_{l,r,x}$ 为区间 $[l,r]$ 中的最大值至多为 $x$ 的方案数。$dp_{l,r,x}=dp_{l,k-1,x-1}\times dp_{k+1,r,x}+dp_{l,r,x-1}$。这是因为所有跨越了点 $k$ 的区间的左最大值都要在 $k$，所以我们枚举 $k$ 填什么，然后递归到左右两边计算。那么我们有了一个 $O(n^2m)$ 的算法。

注意到真正有用的区间只有 $O(n)$ 个，所以我们可以给区间编个号，然后进行上面的 dp。复杂度降到 $O(nm)$，就可以过了。注意由于题目保证的是 $nm\le10^5$，所以要进行一个二维压一维。

#include<bits/stdc++.h>

const int N=2e5+5,P=1e9+7;

struct node{

	int mx,wh;

	node operator+(const node&n)const{

		if(n.mx>mx)

			return n;

		return (node){mx,wh};

	}

}st[N][25];

int t,n,m,dp[3000005],lg[N],idx,x;

node ask(int l,int r)

{

	int k=lg[r-l+1];

	return st[l][k]+st[r-(1<<k)+1][k];

}

int turn(int x,int y)

{

	return x*(m+3)+y;

 }

int dfs(int l,int r)

{

	if(l>r)

		return 0;

	int o=++idx;

	node k=ask(l,r);

	int lc=dfs(l,k.wh-1);

	int rc=dfs(k.wh+1,r);

//	printf("%d %d %d %d %d\n",o,l,r,lc,rc);

	for(int j=1;j<=m;j++)

		(dp[turn(o,j)]=dp[turn(o,j-1)]+1LL*dp[turn(lc,j-1)]*dp[turn(rc,j)]%P)%=P;

//	for(int j=1;j<=m;j++)

//		printf("%d ",dp[turn(o,j)]);

//	puts("");

	return o;

}

int main()

{

	scanf("%d",&t);

	for(int i=2;i<N;i++)

		lg[i]=lg[i>>1]+1;

	while(t--)

	{

		scanf("%d%d",&n,&m);

		for(int i=1;i<=n;i++)

			scanf("%d",&x),st[i][0]=(node){x,i};

		for(int i=1;i<=lg[n];i++)

			for(int j=1;j+(1<<i)-1<=n;j++)

				st[j][i]=st[j][i-1]+st[j+(1<<i-1)][i-1];

		idx=0;

		memset(dp,0,sizeof(dp));

		for(int i=0;i<=m;i++)

			dp[turn(0,i)]=1;

		dfs(1,n);

		printf("%d\n",dp[turn(1,m)]);

	}

}