Matlab随笔之线性规划

原文:Matlab随笔之线性规划

LP(Linear programming,线性规划)是一种优化方法,在优化问题中目标函数和约束函数均为向量变量的线性函数,LP问题可描述为:
min  x
s.t.
              A·x b
              Aeq·x=beq
              vlb x vub
其中 ，b,beq均为向量，A,Aeq为矩阵，x为向量变量.矩阵A和向量b是线性不等式约束条件的系数，

Aeq和beq是等式约束条件的系数.

在MATLAB中，用于LP的求解函数为linprog.其调用格式为：
[x,fval,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,x0,options)
其中f,A,b,是不可缺省的输入变量，x是不可缺省的输出变量，它是问题的解.vlb,vub均是向量，分别表示x的下界和上界，x0为x的起始点，options为optimset函数中定义的参数的值，fval是目标函
数在解x处的值，lambda为在解x处的lagrange乘子.lambda.lower对应于vlb，lambda.upper对应于ulb，lambda.ineqlin是对应于线性不等式约束的，lambda.eqlin是对应于线性等式约束的.

例子1

>>% 求解下列线性规划问题
% max z=2x1+3x2-5x3
% s.t. x1+x2+x3=
%      2x1-5x2+x3>=
%      x1+3x2+x3<=
%      x1,x2,x3>=

f=[;;-];%目标函数列矩阵
A=[-,,-;,,];%不等矩阵
b=[-;];
Aeq=[,,];%相等矩阵
beq=;
x=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,zeros(,));
%zeros(m,n)产生m×n的double类零矩阵，zeros(n)产生n×n的全0方阵
value=f'*x%目标值，其值等于[x,y]=linprog(-f,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1))的-y
Optimization terminated.

value =

   14.5714

>> x

x =

    6.4286
    0.5714
    0.0000

>>

例子2

>> % 求解下列线性规划问题
% min z=2x1+3x2+x3
% s.t. x1+4x2+2x3>=
%      3x1+2x2>=
%      x1,x2,x3>=
f=[;;];
A=[-,-,-;-,-,];
b=[-;-];
x=linprog(f,A,b,[],[],zeros(,))%无等式，用[]代替
value=f'*x %其值等于[x,y]=linprog(f,A,b,[],[],zeros(3,1))的y
Optimization terminated.

x =

    0.8066
    1.7900
    0.0166

value =

    7.0000

>>

例子3

% min  z=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|;
% s.t.   x1-x2-x3+x4=;
%        x1-x2+x3-*x4=;
%        x1-x2-*x3+*x4=-0.5
%目标函数
objfun=@(x)abs(x())+*abs(x())+*abs(x())+*abs(x())
%等式约束
Aeq=[ - -
      -  –
      - - ];
beq=[  -0.5]';
x0=[   ];%给一个初值 很关键
x=fmincon(objfun,x0,[],[],Aeq,beq)

%下面是根据的需要改进的程序
依据：|x|=u+v,x=u-v(u,v>=0)

min z=[       ]*[u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4];
s.t.

A=[ - -  -   -
    -  - -  -
    - -  -   -]

x=[u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4]'

b=[  -0.5]'

Ax=b
x>=

%目标函数
f=[       ];
%等式约束

Aeq=[1 -1 -1 1
  1 -1 1 -3
  1 -1 -2 3];
  Aeq=[Aeq,-Aeq];

beq=[  -0.5]';
%边界条件
lb=zeros(,);
%调用linprog
x=linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb)

Optimization terminated.

x =

0.2500
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.0000
    0.2500