【BZOJ1010】【HNOI2008】玩具装箱toy (斜率优化DP) 解题报告

题目：

题目在这里

思路与做法：

这题不难想。

首先我们先推出一个普通的dp方程：

\(f_i = min \{ f_j+(i-j-1+sum_i-sum_j-L)^2\}\)

然后就推一推式子了：

我们来比较计算f[i]时的j和k两个决策

\(f_j+(i-j-1+sum_i-sum_j-L)^2 < f_k+(i-k-1+sum_i-sum_k-L)^2\)

令\(num_i = i+sum_i\)

令\(C = L+1\)

\(f_j+(num_i-num_j-L-1)^2 < f_k+(num_i-num_j-L-1)^2\)

\(f_j+{num_i}^2-2*num_i*(num_j+C)+(num_j+C)^2\)

\(<f_k+{num_i}^2-2*num_i*(num_k+C)+(num_k+C)^2\)

$f_j+(num_j+C)^{2-f_k-(num_k+C)}2 < $

\(2*num_i*(num_j-num_k)\)

\({f_j+(num_j+C)^2-f_k-(num_k+C)^2 \over 2*(num_j-num_k)} < num_i\)

接下来就可以用斜率优化dp了。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 50010;

inline long long sqr(long long x) { return x*x; }

long long a[N];

long long sum[N];

long long num[N], C;

long long f[N];
double calc(int j, int k) { return (double)(f[j]+sqr(num[j]+C)-f[k]-sqr(num[k]+C))/(double)(2*(num[j]-num[k])); }
int Q[N], hd, tl;

int main()
{   int n;
	long long m;
	scanf("%d%lld", &n, &m);
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{   scanf("%lld", &a[i]);
		sum[i] = sum[i-1]+a[i];
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) num[i] = sum[i]+i;
	C = m+1;
	Q[hd = 0] = 0;
	tl = 1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
	{   while(hd < tl-1 && calc(Q[hd+1], Q[hd]) <= num[i]) hd++;
		f[i] = f[Q[hd]] + sqr(num[i]-num[Q[hd]]-C);
		while(hd < tl-1 && calc(i, Q[tl-1]) <= calc(Q[tl-1], Q[tl-2])) tl--;
		Q[tl++] = i;
	}
	printf("%lld\n", f[n]);
	return 0;
}