推断（inference）、贝叶斯规则（Bayes's rule）与导出分布（derived distribution）

1. 建模

对原始信号 X 进行观测，观测可以抽象为（离散：PY|X(y|x), 连续：fY|X(y|x)），物理世界噪声的存在，将导致观测到的 X 出现一定的噪声，记为 Y：

X⇒fY|X(y|x)⇒Y

对于推断（inference）问题而言，我们更多的是考虑如何从 Y 获取原始的无噪信号 X：

Y⇒fX|Y(y|x)⇒X

注意，原始信号 X 离散的，并不意味着其观测值也是离散的：

{X=0,1Y=X+W

而 W 是高斯噪声。这种由离散信号因为高斯噪声（连续概率分布）的存在而最终得到连续的观察值，大量的见于通信和信号处理专业。

对于离散 X，和连续型 Y，则会有：

PX|Y(y|x)=PX(x)fY|X(y|x)fY(y)

证明如下：

P(X=x,y≤Y≤y+δ)==P(X=x)P(y≤Y≤y+δ∣∣X=x)P(y≤Y≤y+δ)P(X=x∣∣y≤Y≤y+δ)

将其转化为连续的形式则有变为：

P(X=x,y≤Y≤y+δ)==P(X=x)⋅fY|X(y|x)⋅δf(Y=y)⋅δ⋅PX|Y(x|y)

该等式便完成了 pdf 和 pmf 的连接，其中 X 为离散型原始数据，Y 为连续型观测值。

2. 贝叶斯规则

PX(x)PY|X(y|x)=PX,Y(x,y)=PY(y)PX|Y(x|y)⇓PX|Y(x|y)=PX(x)PY|X(y|x)PY(y)

3. 导出分布