作者:桂。

时间:2017-03-07  22:33:37

链接:http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6517301.html


前言

信号时域、频域对应关系,及其DFT、FFT等变换内容,在之前的文章1文章2中已经给出相关的理论推导以及代码实现,本文主要针对信号中常用的卷积进行介绍,内容主要包括:

  1)卷积的物理意义;

  2)卷积的直接实现;

  3)卷积的FFT实现;

  4)卷积的无延迟快速实现;

本文为自己的学习总结,内容多有参考他人,相关的参考文献名称最后一并给出。

一、卷积的物理意义

知乎上有一段话,非常经典,此处加以引用:

作者:中微子
链接:https://www.zhihu.com/question/20500497/answer/45708002

打个比方,往平静的水面里面扔石头。我们把水面的反应看作是一种冲击响应。水面在t=0时刻石头丢进去的时候会激起高度为h(0)的波纹,但水面不会立马归于平静,随着时间的流逝,波纹幅度会越来越小,在t=1时刻,幅度衰减为h(1), 在t=2时刻,幅度衰减为h(2)……直到一段时间后,水面重复归于平静。

从时间轴上来看,我们只在t=0时刻丢了一块石头,其它时刻并没有做任何事,但在t=1,2….时刻,水面是不平静的,这是因为过去(t=0时刻)的作用一直持续到了现在。

那么,问题来了:

如果我们在t=1时刻也丢入一块石子呢?此时t=0时刻的影响还没有消失(水面还没有恢复平静)新的石子又丢进来了,那么现在激起的波浪有多高呢?答案是当前激起的波浪与t=0时刻残余的影响的叠加。那么t=0时刻对t=1时刻的残余影响有多大呢?

为了便于说明,接下来我们作一下两个假设:

1. 水面对于“单位石块”的响应是固定的

2. 丢一个两倍于的“单位石块”的石块激起的波纹高度是丢一个石块的两倍(即系统满足线性叠加原理)

现在我们来计算每一时刻的波浪有多高:

  • t=0时刻:

y(0)=x(0)*h(0);

  • t=1时刻:

当前石块引起的影响x(1)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引起的残余影响x(0)*h(1);

y(1)=x(1)*h(0)+ x(0)*h(1);

  • t=2时刻:

当前石块引起的影响x(2)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引起的残余影响x(0)*h(2);

t=1时刻石块x(1)引起的残余影响x(1)*h(1);

y(2)=x(2)*h(0)+ x(1)*h(1)+x(0)*h(2);

……

  • t=N时刻:

当前石块引起的影响x(N)*h(0);

t=0时刻石块x(0)引起的残余影响x(0)*h(N);

t=1时刻石块x(1)引起的残余影响x(1)*h(N-1);

y(N)=x(N)*h(0)+ x(N-1)*h(1)+x(N-2)*h(2)+…+x(0)*h(N);

这就是离散卷积的公式了。

二、卷积的直接实现(Direct convolution)

特点:无延迟、运算量大。

对应公式:

$y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n - 1) + ... + h({N_h} - 1)x(n - {N_h} + 1)$

对应结构图:

对应代码(MATLAB同样有内置指令conv):

function output_signal=my_direct_convolution(input_signal,impulse_response)
% Input:
% input_signal: the input signal
% impulse_response: the impulse response
% Output:
% output_signal:the convolution result
N=length(input_signal);%define length of signal
K=length(impulse_response);%define length of impulse response
output_signal=zeros(N+K-1,1);%initializing the output vector
xp=[zeros(K-1,1);input_signal;zeros(K-1,1)];
for i=1:N+K-1
output_signal(i)=xp(i+K-1:-1:i)'*impulse_response;
end

三、卷积的FFT实现

特点:运算量小、需要延迟至少$N_h+N_x$($N_h$为滤波器长度)个数据点的采样时间

  A-卷积与FFT的关系

这里用到一个重要性质:时域卷积等价于各自频域变换相乘。但我们知道,fft或者ifft信号的长度不变,即fft实现的频域相乘,在逆fft(ifft)到时域的结果,实现的是圆卷积,而不是线卷积

$y(n) = x(n)*h(n)$

对应于频域就是

$Y(k) = X(k) \cdot H(k)$

但$Y(k)、X(k)、H(k)$对应的长度必须一致,且与$y(n)$一致。

为了保持线卷积、圆卷积得到的结果一直,必须在FFT操作之前,适当补零。

举个简单的例子:

x(n) = [2,5,7]; h(n) = [3,4],求二者的线卷积.

分析:线卷积的结果长度应该为:$N_y = N_x + N_h -1$,即3+2-1.

方法1:直接卷积

y(n) = x(n)*h(n),对应结果(会乘法运算的都能做卷积):

方法2:圆卷积

因为利用FFT操作,对应圆卷积,且x、h长度需要一致,这里我们先取长度为3,看看效果,长度不足3的补零。

从结果看,结果为{34,23,41},与结果不一致,可以看到28对应的位置有数值,因此至少取$N_x +N_h$个长度,再来看看结果:

此时已经得出了真实的结果,结论就是:做FFT实现卷积,每一个序列长度补零延长到$N_x +N_h$,则圆卷积与线卷积等价,即FFT运算便可以实现卷积的功能。

  B-卷积的FFT代码实现

给出对应的代码:

function output_signal=my_fft_convolution(input_signal,impulse_response)
% Input:
% input_signal: the input signal
% impulse_response: the impulse response
% Output:
% output_signal:the convolution result
siglen=length(input_signal);%define the length of signal
implen=length(impulse_response);%define the length of the impulse response
P=siglen+implen-1;%define P
P2=pow2(nextpow2(P));% Find smallest power of 2 that is > P
%%Utilize the code in .pdf
output_signal= real(ifft(fft(input_signal,P2).*fft(impulse_response,P2))); % we need to take the real part to avoid any
% Floating point errors making the output complex
output_signal(P+1:end)=[];%modify the length

给一张直接卷积与FFT卷积的框图:

四、卷积的分段实现

特点:相比于直接卷积,运算量小;相比于FFT实现,延迟量小($2N_h$,假设数据长度大于滤波器长度)。

  A-重叠相加法

主要思想

  假设每一段长度$N_x$,滤波器长度$N_h$,则每一段线卷积的长度为$N_x+N_h-1$,而每一段长度为$N_x$,故每次移动$N_x$,从而每次的结果后段的$N_h-1$个点重叠相加。核心是利用线卷积的思想,如前文所示,线卷积也可借助FFT快速实现。

对应代码:

function output_signal=my_fast_convolution_add(input_signal,impulse_response)
% Input:
% input_signal: the input signal
% impulse_response: the impulse response
% Output:
% output_signal:the convolution result
siglen=length(input_signal);%define the length of signal
implen=length(impulse_response);%define the length of the impulse response
Nfra=ceil(siglen/implen);%number of frames
%Initialize the output signal
output_signal=zeros(implen*(Nfra+1),1);
%Add zeros
xp=reshape([input_signal;zeros(Nfra*implen-siglen,1)],...
implen,Nfra);
h=kron(impulse_response,ones(1,Nfra));
%Multiply the ffts together and calculate the ifft
P=pow2(nextpow2(2*implen));%Find smallest power of 2 that is > 2*implen
out_mat=real(ifft(fft(xp,P).*fft(h,P)));
%Overlapping the output blocks and summing
for i=0:Nfra-1
ni=i*implen+1:i*implen+P;
output_signal(ni)=output_signal(ni)+out_mat(:,i+1);
end
%Modify the length
output_signal(siglen+implen:end)=[];

  B-重叠保留法

主要思想:

  滤波器长度$N_h$,每一段卷积的长度为$2N_h-1$,核心是利用圆卷积的思想,对应频域就是FFT相乘。

举例:

已知$x(n) = n+1,0 \le n \ge 9 $,$h(n) =$ {1,0,-1},求卷积结果。

直接实现

$x(n)*h(n) =$ {1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -9 -10} .

重叠相加

已知$N_h = 3$,长度L最小值为$2N_h-1 = 5$.将$x(n)$分段,得

$x_1(n) =$ {1 2 3 4 5},$x_2(n) =$ {6 7 8 9 10},

将每段与$h(n)$卷积:

$y_1 =$ {1 2 2 2 2 -4 -5 },

$y_2 =$ {6 7 2 2 2 -9 -10 },

重叠$N_h-1 = 2$个点,的

$y =$ {1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -9 -10}

重叠保留

同样的计算方法,长度最小为5,起始保留$N_h -1 =2$个点,起始补零。

$x_1 =$ {0 0 1 2 3};$x_2 =$ {2 3 4 5 6};

$x_3 =$ {5 6 7 8 9};$x_4 =$ {8 9 10 0 0};

分别与$h(n)$做圆周卷积:

$y_1 =$ {-2 -3 1 2 2};$y_2 =$ {-3 -3 2 2 2};

$y_1 =$ {-3 -3 2 2 2};$y_1 =$ {8 9 2 -9 -10};

丢弃每段最前面的$N_h -1 = 2$个点,为什么这么丢弃,参考前文线卷积与圆卷积的对应关系分析。

$y =$ { 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -9 -10}.

三种方式完全等价。

这一方法也可以解决输入、输出数据量不匹配的问题:

假设x长度为16,h长度为16,则起始保留Nh-1 = 15个点,起始补零。圆卷积借助FFT实现。重叠相加法也可以实现该功能。

五、卷积的Without Input-output delay实现

特点:无延迟、运算量小。

该方法主要针对滤波器进行分层。

具体可以参考文章:《Efficient convolution without Input-Output Delay》.

下面给出一个自己制作的gif示意图,之前的图片没有了,pdf截图有大有小,拼凑起来凑合看吧,这个图描写了该算法的步骤。

参考:

郑君里:《信号与系统》第二版

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