[cf1495F]Squares

令$nex_{i}=\min_{i<j,p_{i}<p_{j}}j$（即$i$的第2类边），若不存在此类$j$则$nex_{i}=n+1$

建一棵树，其以0为根，且$1\le i\le n$的父亲为$\max_{j<i,p_{i}<p_{j}}j$（不存在则为0），以下记作$fa_{i}$

每一次选择$(i,nex_{i})$，都可以看作有一个收益$\Delta_{i}=b_{i}-\sum_{j=i}^{nex_{i}-1}a_{j}$

问题也可以看作选择若干个节点$p_{1}<p_{2}<...<p_{k}$，使得$nex_{p_{i}}\le p_{i+1}$且$(p_{i},nex_{p_{i}})$与$S$无公共点，在此条件下最小化$\sum_{i=1}^{k}\Delta_{p_{i}}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}$（后者为常数，以下忽略）

考虑$(i,nex_{i})$，实际上这些点恰为以$i$为根的子树中的点（不包括$i$）

（注意这棵树中，若$i$为$j$的祖先，则必然有$i<j$）

由此，条件也即变为$p_{i}$之间两两不成祖先-后代关系，且$p_{i}$子树内（不包括$p_{i}$）不能含有$S$中的点

（关于这两点性质，可以简单分类讨论地分析一下，具体这里就省略了）

令$f_{i}$表示以$i$为根的子树内，选择若干个两两不成祖先-后代关系的点，$\sum\Delta_{p_{i}}$之和的最大值（忽略$S$的限制），对于$f$显然可以树形dp计算，复杂度为$o(n)$

问题即求所有极浅的点，满足其子树内（不包括自己）没有$S$中的元素，这些点的$f$之和

更具体的，令$H$为包含0以及$S$中所有元素的父亲的最小连通块，“满足其子树内（不包括自己）没有$S$中的元素”即等价于不在$H$中，因此问题即求$\sum_{x\notin H,fa_{x}\in H}f_{x}$

令$g_{x}=\sum_{fa_{y}=x}f_{y}$，枚举$fa_{x}$并用$g_{x}$减去$x\in H$的部分，即求$\sum_{x\in H}(g_{x}-\sum_{fa_{y}=x,y\in H}f_{y})$

将两部分拆开，也即$\sum_{x\in H}g_{x}-\sum_{x\in H,x\ne 0}f_{x}=g_{0}+\sum_{x\in H,x\ne 0}g_{x}-f_{x}$（前者为常数，以下忽略）

令$i$到$fa_{i}$的边权为$g_{i}-f_{i}$，也即求$H$中所有边权之和

考虑将0以及$S$中所有元素的父亲按照dfs序排序，依次为$p_{1},p_{2},...,p_{k}$，答案即$\frac{\sum_{i=1}^{k}dis(p_{i},p_{i\ mod\ k+1})}{2}$

（关于这个的正确性，这样从$p_{1}->p_{2}->...->p_{k}$，$H$中每一条边必然被经过恰好两次）

关于这个，用线段树或set维护即可，复杂度为$o((n+q)\log n)$

  1 #include<bits/stdc++.h>
  2 using namespace std;
  3 #define N 200005
  4 #define ll long long
  5 #define L (k<<1)
  6 #define R (L+1)
  7 #define mid (l+r>>1)
  8 struct Edge{
  9     int nex,to;
 10 }edge[N];
 11 int E,n,q,x,p[N],head[N],st[N],dfn[N],idfn[N],sh[N],vis[N],fa[N][21],f[N<<2];
 12 ll sum,ans,a[N],b[N],g[N],dp[N],dep[N];
 13 void add(int x,int y){
 14     edge[E].nex=head[x];
 15     edge[E].to=y;
 16     head[x]=E++;
 17 }
 18 int lca(int x,int y){
 19     if (sh[x]<sh[y])swap(x,y);
 20     for(int i=20;i>=0;i--)
 21         if (sh[fa[x][i]]>=sh[y])x=fa[x][i];
 22     if (x==y)return x;
 23     for(int i=20;i>=0;i--)
 24         if (fa[x][i]!=fa[y][i]){
 25             x=fa[x][i];
 26             y=fa[y][i];
 27         }
 28     return fa[x][0];
 29 }
 30 ll dis(int x,int y){
 31     return dep[x]+dep[y]-2*dep[lca(x,y)];
 32 }
 33 ll dis_dfn(int x,int y){
 34     return dis(idfn[x],idfn[y]);
 35 }
 36 void dfs1(int k){
 37     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex){
 38         dfs1(edge[i].to);
 39         g[k]+=dp[edge[i].to];
 40     }
 41     dp[k]=min(g[k],b[k]);
 42 }
 43 void dfs2(int k,int f,int s1,ll s2){
 44     idfn[x]=k;
 45     dfn[k]=x++;
 46     sh[k]=s1;
 47     dep[k]=s2;
 48     fa[k][0]=f;
 49     for(int i=1;i<=20;i++)fa[k][i]=fa[fa[k][i-1]][i-1];
 50     for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)dfs2(edge[i].to,k,s1+1,s2+g[edge[i].to]-dp[edge[i].to]);
 51 }
 52 void update(int k,int l,int r,int x,int y){
 53     f[k]+=y;
 54     if (l==r)return;
 55     if (x<=mid)update(L,l,mid,x,y);
 56     else update(R,mid+1,r,x,y);
 57 }
 58 int query(int k,int l,int r,int x){
 59     if (l==r)return f[k];
 60     if (x<=mid)return query(L,l,mid,x);
 61     return query(R,mid+1,r,x);
 62 }
 63 int query_pre(int k,int l,int r,int x){
 64     if ((!f[k])||(l>x))return -1;
 65     if (l==r)return l;
 66     int ans=query_pre(R,mid+1,r,x);
 67     if (ans>=0)return ans;
 68     return query_pre(L,l,mid,x);
 69 }
 70 int query_nex(int k,int l,int r,int x){
 71     if ((!f[k])||(r<x))return -1;
 72     if (l==r)return l;
 73     int ans=query_nex(L,l,mid,x);
 74     if (ans>=0)return ans;
 75     return query_nex(R,mid+1,r,x);
 76 }
 77 int query_pre(int x){
 78     int ans=query_pre(1,0,n,x-1);
 79     if (ans>=0)return ans;
 80     return query_pre(1,0,n,n);
 81 }
 82 int query_nex(int x){
 83     int ans=query_nex(1,0,n,x+1);
 84     if (ans>=0)return ans;
 85     return query_nex(1,0,n,0);
 86 }
 87 ll calc(int k){
 88     int x=query_pre(k),y=query_nex(k);
 89     return dis_dfn(x,k)+dis_dfn(y,k)-dis_dfn(x,y);
 90 }
 91 int main(){
 92     scanf("%d%d",&n,&q);
 93     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i]);
 94     for(int i=1;i<=n;i++){
 95         scanf("%lld",&a[i]);
 96         a[i]+=a[i-1];
 97     }
 98     for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&b[i]);
 99     for(int i=n;i;i--){
100         while ((st[0])&&(p[st[st[0]]]<p[i]))st[0]--;
101         if (!st[0])b[i]-=a[n]-a[i-1];
102         else b[i]-=a[st[st[0]]-1]-a[i-1];
103         st[++st[0]]=i;
104     }
105     memset(head,-1,sizeof(head));
106     st[0]=0;
107     for(int i=1;i<=n;i++){
108         while ((st[0])&&(p[st[st[0]]]<p[i]))st[0]--;
109         add(st[st[0]],i);
110         st[++st[0]]=i;
111     }
112     dfs1(0);
113     dfs2(0,0,0,0);
114     sum=g[0]+a[n];
115     update(1,0,n,0,1);
116     for(int i=1;i<=q;i++){
117         scanf("%d",&x);
118         int y=dfn[fa[x][0]];
119         if (!vis[x]){
120             update(1,0,n,y,1);
121             if (query(1,0,n,y)==1)ans+=calc(y);
122         }
123         else{
124             update(1,0,n,y,-1);
125             if (!query(1,0,n,y))ans-=calc(y);
126         }
127         vis[x]^=1;
128         printf("%lld\n",sum+ans/2);
129     }
130 }